圆锥曲线中的范围、最值问题
共78题

· 圆锥曲线中的范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知F（，0）为抛物线（p＞0）的焦点，点N（，）（＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，。

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由题意，则，

故抛物线方程为。

由|NF|=，则。

∵，

∴，

所以N（2,2）。

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为。

联立方程组，得。

设两个交点A（，），B（，）（≠±2，≠±2），则

由，整理得

。

此时，恒成立。

故直线的方程可化为，从而直线过定点E（3，-2）。

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴，

所以△MAB的面积当t=-2时有最小值为，此时直线的方程为。

考查方向

抛物线的性质与特征，圆锥曲线中的最值问题

解题思路

建立适当的坐标系，利用直线斜率之间的关系建立方程，进而求解，与抛物线联立成方程组，整理可得。

易错点

计算能力弱，找不到面积最小时候的情况

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

正确答案

解析

过点A、B作准线的垂线，垂足为P、Q，AP=AF，BQ=BF，由图可知，

，在三角形ABF中，由余弦定理可知：，所以，再由基本不等式可知：，代入上式得，化简得,因此选择A选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义、方程、几何性质、余弦定理以及均值不等式等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

将MN通过转化放入到一个三角形中，通过解三角形的知识进行解决。

易错点

本题容易因为对抛物线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

抛物线的定义及应用圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

(I)由已知得，又由，可得，，

得椭圆方程为，因为点在第一象限且轴，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为

(II)设将代入椭圆，可得

由，可得，则有

所以因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令 , 由①知

所以时，面积最大为.

考查方向

椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题

解题思路

本题考查了椭圆的方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系中的面积问题，其中面积是本题解得的难点，解答时应结合图形的特征把的面积分解为两个同底的三角形，两个三角形的底边都是，高的和为，这是本题韦达定理应用的技巧所在，最好通过对面积的函数关系变形，在形式上达到积为定值的目的，通过基本不等式求出面积的最大值.

易错点

本题中主要是在求点坐标时易错，在联立方程用韦达定理时运算量大易错。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（　　）

A16

D18

正确答案

解析

设直线AB的方程为：x=ty+m，

点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），

x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，

根据韦达定理有y1•y2=﹣4m，

∵OA⊥OB， ∴•=0，

∴x1•x2+y1•y2=0，从而（y1•y2）2+y1•y2=0，

∵点A，B位于x轴的两侧，

∴y1•y2=﹣16，故m=4．

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，

又F（1，0），

∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+≥8，

当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，

故选：C．

考查方向

本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线综合应用，也在题目中考查了向量在圆锥曲线中的应用等知识，意在考查考生的运算求解能力和分析解决问题能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与向量，基本不等式等知识点交汇处命题，较难。

解题思路

1、先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=0，得到y1•y2。2、最后将面积之和表示出来，得到最值问题。

易错点

1、设直线方程时未考虑到斜率是否存在而出错。2、再把S△ABO+S△AFO转化成坐标形式时容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：填空题

填空题 · 16 分

22．如图，

曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，

当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”．

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值．

正确答案

（1），；

（2）略；

（3）．

解析

（1），

，

；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，

线段中点

由，

得

存在且，，

且，

即

同理，得证

（3）设直线的方程为联立方程，

化简得

，

联立方程，

化简得

，

两平行线间距离：

的面积最大值

注：若用第一小题结论，

算得：

的面积最大值为

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆与直线的位置关系，考查化简运算能力与对新定力的概念的即时学习能力．

解题思路

（1）根据定义求得猫眼曲线Γ的方程；

（2）设交点，由中点公式可得，联立方程，化简可得，同理可得，两式相除消去，即证为与无关的定值；

（3）设直线的方程为，联立方程，化简，从而可得的方程，同理可得的方程，再利用两平行线间距离表示三角形的高，再求|AB|，从而求得最大面积．

易错点

1．对新定义的“猫眼曲线”的概念的不理解，即时学习能力不够；

2．解析几何中繁琐的化简容易出错，特别是带字母的化简运算．

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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