不等式_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 已知函数 .

（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围

正确答案

见解析

解析

(Ⅱ) ,定义域为（0，+∞），

①当即时，令，

令，得故在上单调递减，在上单调递增

②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。

综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

当时，的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

（Ⅱ）由题意可知，不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，

即在[1，e]存在使得成立，

由（Ⅰ）中，则在[1，e]存在使得

即函数在[1，e]上的最小值

由（Ⅰ）知，当时，在[1，e]上单调递增，

当时

①当即时，在[1，e]上单调递减，

②当即时，在[1，e]上单调递增，

,无解

③当即时，在上单调递减，在上单调递增此时，不合题意。

综上可得，实数的取值范围是或

考查方向

函数的单调性；导数与函数的单调性的关系；函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域，利用导数求函数的单调区间，根据题意构造出恰当的不等式，进而求出参数的取值范围。

易错点

求导错误，构造函数不成功。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知函数,若对任意，，则（）

A

B.

C

D

正确答案

A

解析

由题意得，函数在f(x)在x=1处取到最小值。

，所以，令求解方程，得到

，，所以当a>0时，函数得而单调递减区间是，单调递增区间是，于是可知，是函数的唯一极小值点，故，整理得，即

令，求导并令导函数为零，，得到，当

时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，故，所以

即，所以选A。

考查方向

函数的单调性与导数的关系、函数的最值与导数的关系、不等式的定义与性质

解题思路

先判断函数的单调性，然后求导求最值。

易错点

函数单调性判断错误、求导错误

知识点

函数单调性的性质导数的运算其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.设为坐标原点，，若满足，则的最大值为

A10

B8

C6

D4

正确答案

C

解析

1.先画出可行域，将表示成的形式，然后设，将其平移到点时，最大为6。故选C

考查方向

本题主要考查线性规划的知识，考查向量的数量积的坐标表示

解题思路

1.先画出可行域，

2.将表示成的形式，然后设，将其平移到点时，最大为6.

易错点

1.无法将正确表示出来，

2.可行域画错，导致结果出错。

知识点

平面向量数量积的运算其它不等式的解法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.若实数x,y满足不等式组，则的最大值是　　．

正确答案

19

解析

由题可知，求出阴影区域的三个端点坐标，分别代入目标函数计算，即可求出最大值19.

考查方向

本题主要考查线性规划

解题思路

1、表示平面区域；2、求出区域的端点坐标，即可得到结果。

易错点

本题易在表示平面区域时发生错误。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.若满足且的最大值为4，则的值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

直线过定点（0,3）。将斜率进行分类讨论，

（1）当时，如图1，

画出可行区域，目标函数在点（0,3）处取得最大值3，不满足题意；

（2）当时，如图2，

画出可行区域，目标函数在直线与轴的交点处取得最值4，所以得到，将点（2,0）代入直线方程得到；

（3）当时，画出可行区域，可以得到目标函数没有最大值。

考查方向

本题主要考查线性规划问题，难度中档，属高考热点之一。常常会考查几种不同类型的目标函数的最值问题，也可以和本题一样，知道最值，求某一个参数的值或范围。

解题思路

画出三条直线，找出可行区域，再根据目标函数的斜率,对参数进行分类讨论，看哪种情形能够使得目标函数的最大值为4，找出取最大值的点，然后求出点的坐标，进而求出值

易错点

对最后一条不确定的直线，没有找到它所过的一个定点（0,3）导致不能画出大致的可行区域，而不能求出值

知识点

其它不等式的解法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线围成的封闭区域为B ,在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为___________．

正确答案

解析

做出区域A和B的位置，如下图，B为图中绿色部分，易得，A的面积为9,求B的面积应用积分，，所以所求概率为

考查方向

几何概型，积分求面积

解题思路

根据题意做出图形，然后求出区域A和区域B的面积，进而求出概率

易错点

求不出区域B的面积

知识点

其它不等式的解法与面积、体积有关的几何概型

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.设满足约束条件若的最大值为2，则实数的值为（）

A2

B1

C

D

正确答案

A

解析

通过作图可知，

当且仅当时，可行域非空．

如图所示，当目标函数经过点时，，

所以．应选A．

考查方向

本题主要考查线性规划的知识，难度不大，属于基础题，考查数形结合和化归与转化的思想方法。

解题思路

1.画出可行区域；

2.结合图形找出最优解表示的点，算出结果，应选A。

易错点

1不能正确画出可行域；

2.不能正确找到最优解表示的点

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x＋3y的最小值为(　　)

A2

B3

C4

D5

正确答案

C

解析

由题意可知，可行域为下图红色区域部分，所以可知，当目标函数经过C（1，1）时候，目标函数有最小值，为4，所以选C

考查方向

简单的线性规划

解题思路

先根据约束条件作出可行域，然后根据目标函数求最值

易错点

可行域作错，目标函数最值找不到

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知点的坐标满足条件记的最大值为，的最小值为，则＝（）

A4

B5

C

D

正确答案

B

解析

可行域如图所示，

易知当将经过（-2,0）的直线绕（-2,0）运动到C点时斜率最大，最大值为1；以为圆心的圆在A点处的半径最小为2，所以=1+4=5，因此选择B选项。

考查方向

本题主要考查了线性规划的相关知识。

解题思路

根据线性约束条件画出可行域。2、可以理解为点（x，y）和点（-2,0）所确定的直线的斜率，可理解为以为圆心的圆的半径的平方．

易错点

本题往往会因为不能准确地理解和而导致本题不会做。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 3 分

7.若x，y满足不等式组则的最大值是

A

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

画出线性区域，区域是三角形ABC内部包括边界，其中A（1，2），B（3，2）C（2，3），设原点为O，所以OA的斜率最大为2，故选A。

考查方向

本题考查了线性规划问题，目标函数可看作线性区域内的点与原点连线的斜率。

解题思路

先画出线性区域，然后再求区域内的点与原点连线的斜率的最大值。

易错点

目标函数没能转化为斜率。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1.已知集合，，则

A

B

C

D

正确答案

D

解析

集合，，所以，故选D。

考查方向

本题主要考查了集合的运算能力,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与解不等式和函数的定义域、值域等知识点交汇命题。

解题思路

先把集合A、B具体化，然后再结合数轴进行集合运算。

易错点

此类题型简单，出错也是出现在计算上。

知识点

交集及其运算其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知变量满足若目标函数取到最大值，则的值为( )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由可知该可行域为直线所围成的公共三角形部分，三角形的顶点分别为，若在A处取得最大值，则，经验证不符合题意；若在B处取得最大值，则，经验证符合题意；若在C处取得最大值，则，经验证也不符合题意，所以符合条件的，故选B。

考查方向

本题主要考查线性规划的有关知识，意在考查考生数形结合、分类讨论的数学思想。

解题思路

1.先做出约束条件对应的可行域；

2.求出可行域端点的坐标，将各个点带入目标函数求出a之后验证是否能在该点取到最大值即可。

易错点

1.容易将顶点带入求出a之就选，不验证是否在该点取到最大值；

2.可行域画错导致后面出错。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.已知实数满足，则的最大值是（）

A

B

C.

D

正确答案

D

解析

作出线性约束条件表示的可行域

为图中直线的上方，的右方，的下方的区域，可变形为表示焦点在x轴上的抛物线，其中当其过A(1,3)时，z最大为9。故选D。

考查方向

本题主要考查线性规划，抛物线方程等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先作出可行域；

2.在可行域中找到的最值。

易错点

1.可行域画错；

2.不能将表示成抛物线方程的形式。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8.设实数，满足约束条件则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

作出平面区域为三角形ABC区域，如下图：

其中A（1，0），B（-1，-2），C（-1，2），点C（-1，2）到点（0，-2）的距离最大为，点（0，-2）到直线x-y-1=0的距离为最小值，所以距离的平方的范围为，故选A。

考查方向

本题主要考查了非线性目标函数在线性约束条件下求最值，还有就是目标函数改为线性目标函。那么非线性目标函数就应研究其几何意义（如斜率、距离等）。

解题思路

画线性区域，然后可理解为是区域内的点与（0，-2）两点间的距离的平方。

易错点

本题必须正确画出线性区域，的几何意义不清楚。

知识点

其它不等式的解法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.设集合，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

集合,所以集合B中，所以，集合，从而或，所以，故选B。

考查方向

本题主要考查集合的交并补运算，集合的表示形式，分式不等式的解法，函数的值域等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.先解出集合A，然后解出集合B，进而求出B的补集；

2.利用数轴求出。

易错点

1. 解不等式解错；

2. 的值域求错，集合B中务求定义域导致出错。

知识点

交、并、补集的混合运算其它不等式的解法

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案