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1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,有以下四个命题:①其中,真命题是(  )

A①④

B②③

C①③

D②④

正确答案

D

解析

对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β,α∥γ,则β∥γ,正确

对于②面BD⊥面D1C,A1B1∥面BD,此时A1B1∥面D1C,不正确

对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行,而m⊥α,

根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故正确

对应④m有可能在平面α内,故不正确,

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

时,不等式恒成立,则实数的取值范围是________。

正确答案

[1,2]

解析

因为(|x|+|x-1|)的最小值为l,所以

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

,…,是各项不为零的)项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对所组成的集合为________。

正确答案

答案:

解析

满足题意的数列只能有4项,若删掉,则,若删掉,则,所以所有数对所组成的集合为

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 7 分

选修4—5:不等式选讲

已知关于的不等式:的整数解有且仅有一个值为2.

(1)求整数的值;

(2)已知,若,求的最大值

正确答案

见解析。

解析

(1),得

不等式的整数解为2,  

又不等式仅有一个整数解2,                           ……3分

(2)显然

由柯西不等式可知:

所以

当且仅当时取等号,最大值为            ………7分

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知为常数,则使得成立的一个充分而不必要条件是(     )。

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,可知使得成立的一个充分而不必要条件是,选C.

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知不等式对任意正数恒成立,则实数的取值范围是(     )。

A

B

C

D

正确答案

D

解析

依题意恒成立,又,当且仅当时等号成立,所以,选D.

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

,则的大小关系是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,则

所以函数为增函数,∴,∴,∴.又

,选A.

知识点

不等式的性质比较法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为           (     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

作出不等式表示的平面区域即可.

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 7 分

选修4-5:不等式选讲

对于x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥2+2恒成立,试求2+的最大值。

正确答案

见解析。

解析

|-1|+|-2|=|-1|+|2-|≥|-1+2-|=1 , …………………………… 2分

2+2≤1.                         ……………………………… 3分

(2+)2 ≤(22+12)( 2+2) ≤5.  ………………………………5分

由       ,

即取=时等号成立.故(2+)max=.  ……………………………… 7分

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 7 分

已知,且

(1)试利用基本不等式求的最小值

(2)若实数满足,求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)由已知,且,即m可化为.由柯西不等式可得结论.

(2)由(1)可得.再由柯西不等式即可得结论.

(1)由三个数的均值不等式得:

(当且仅当时取“=”号),故有。  4分

(2),由柯西不等式得:

(当且仅当时取“=”号)

整理得:,即。           7分

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

岳阳市临港新区自2009年6月8日开港来,吸引了一批投资过亿元的现代工业和物流储运企业落户。根据规划,2025年新港将全部建成13个泊位,从2014年(第一年)开始对其中某个子港口今后10年的发展规划,有如下两种方案:

方案甲:按现状进行运营。据测算,每年可收入800万元,但由于港口淤积日益严重,从明年开始需投资进行清淤,第一年投资50万元,以后逐年递增20万元。

方案乙:从2014年起开始投资4000万元进港口改造,以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时4年,在此期间边改造边运营.据测算,开始改造后港口第一年的收入为400万元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增长50%,而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。

(1)至少经过多少年,方案乙能收回投资(累计总收益为正数)?

(2)到哪一年,方案乙的累计总收益超过方案甲?(收益=收入-投资)

正确答案

(1)5

(2)2020

解析

(1)设从2014年开始经过n年,方案乙的累计总收益为正数。

在方案乙中,前4年的总收入为

 故n必定不小于4,则由 ,    

解得 ,故n的最小值为5

答: 从2014开始至少经过5年,方案乙能收回投资。

(2)设从2014年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元,

当n≤4时,则y1>0,y2<0,可得y1>y2.

当n>5时,

令y1<y2,可得,即 

可得n的最小值为7.

答:到2020年,方案乙的累计总收益超过方案甲。

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

(1)已知,求证:

(2)已知>0(i=1,2,3,…,3n),求证:+++…+

正确答案

见解析。

解析

(1)证明: a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞),

 alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)

那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b),当a∈(0,)时f ′ (a)<0,当a∈(,1)时f ′ (a)>0,

 f(a)在(0,]上递减,在[,1) 上递增;

 f(a)≥f()=(1-b) log3+ blog3b,记g(b)= (1-b) log3+ blog3b

得:g′(b)= log3b-log3,当b∈(0,)时g′(b) <0,当b∈(,1)时,g′(b) >0,

 g(b)在(0,)递减,在(,1)上递增; g(b)≥g()=-1。

alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。

(2)证明:n=1时,++=1,>0(i=1,2,3),由(1)知

++≥-1成立,即n=1时,结论成立。

设n=k时结论成立,即++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k)时

+++…+≥-k.

那么,n=k+1时,若++…+++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k+1)时,

+…+=t,则++…+=1,由归纳假设:

++…+≥-k

 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t)。

+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)①

+…+=s,则+…+=t-s,++…+=1,

由归纳假设:++…+≥-k.

++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)②

+…+=s,++…+=1;由归纳假设同理可得:

++…+ ≥-ks+ ss ③

将①②③两边分别相加得:

++…++…++…+≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss

而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。

-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。

++…++…+≥-(k+1)。

n=k+1时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

满足约束条件,则的最小值是          .

正确答案

-3

解析

画出约束条件的可行域,

由可行域知:目标函数过点(1,1)时,

取最小值-3.

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

若不等式的解集为空集,则实数的取值范围为      。

正确答案

解析

根据几何意义可知:要使不等式的解集为空集,则,所以实数的取值范围为

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)求函数的单调区间;

(2)若关于的不等式对一切(其中,且为常数)都成立,求实数 的取值范围;

(3)某同学发现:总存在正实数,使,试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请写出的取值范围(不需要解答过程)。

[来源:

正确答案

见解析。

解析

(1)定义域为,则

变化时,的变化情况如下表:

的单调递增区间为的单调递减区间为.             …………4分

(2)∵不等式对一切(其中)都成立,

∴分离得,对一切(其中)都成立,………………6分

∴下面即求(其中)上的最大值;

由(2)知:上单调递增,在上单调递减.

时,即时,上单调递增,

………………………………7分

时,上单调递减,

………………8分

时,即时,上单调递增,上单调递减,

,………………9分

综上得:

时,

时,

时,。                  ………………10分

(3)正确 ,的取值范围是,         ………14分  的大致图像,

注:理由如下,考虑函数的大致图象.当时, ,当时,.又∵上单调递增,在上单调递减,且

的图象如右图所示。

∴总存在正实数,使得

,即,此时

知识点

不等式的性质
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