不等式_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为

A

B6

C10

D17

正确答案

B

知识点

不等式的性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

20.(本小题满分13分)

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立

正确答案

知识点

函数的单调性及单调区间函数性质的综合应用导数的运算不等式的性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9．设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

A(0,1)

B(0,2)

C(0,+∞)

D(1,+∞)

正确答案

A

知识点

不等式的性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8.若，则

A

B

C

D

正确答案

C

知识点

不等式的性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

对于函数f(x)，在给定区间[a，b]内任取n＋1(n≥2，n∈N*)个数x0，x1，x2，…，xn，使得

a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，记S＝|f(xi＋1)－f(xi)|．若存在与n及xi(i≤n，i∈N)均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f(x)在区间[a，b]上具有性质V．

22.若函数f(x)＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值；

23.若函数f(x)＝，给定区间为[0，2]，求S的最大值；

24.对于给定的实数k，求证：函数f(x)＝klnx－在区间[1，e]上具有性质V．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）4；

解析

（1）解：因为函数f(x)＝－2x＋1在区间[－1，1]为减函数，

所以f(xi＋1)＜f(xi)，所以|f(xi＋1)－f(xi)|＝ f(xi)－f(xi＋1)．

S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x0)－f(x1)]+[ f(x1)－f(x2)]+…+[ f(xn-1)－f(xn)]

＝f(x0)－f(xn)＝f(－1)－f(1)＝4．

考查方向

本题考查了函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力

解题思路

本题考查函数恒成立问题，解题步骤如下：

1)先通过f(x)＝－2x＋1的单调性，直接求出|f(xi＋1)－f(xi)|＝ f(xi)－f(xi＋1)代入即可求出；

易错点

不会转化|f(xi＋1)－f(xi)|，进而求出最值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）；

解析

(2) 解：由f′(x)＝＝0，得x＝1．

当x＜1时，f′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，1)为增函数；

当x＞1时，f′(x)＜0，所以f (x)在(1，＋∞)为减函数；

所以f (x)在x＝1时取极大值．

设xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，

则S＝|f(xi＋1)－f(xi)

＝|f(x1)－f(0)|＋…＋|f(xm)－f(x m－1)|＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋|f(xm＋2)－f(x m＋1)|＋…＋|f(2)－f(x n－1)

＝[f(x1)－f(0)]＋…＋[f(xm)－f(x m－1)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(x m＋2)]＋…＋[f(xn－1)－f(2)]

＝[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(2)]．

因为|f(xm＋1)－f(x m)|≤[f(1)－f(xm)]＋[f(1)－f(xm＋1)]，当x m＝1时取等号，

所以S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2)

＝2 f(1)－f(0)－f(2)＝.

所以S的最大值为．

考查方向

本题考查了函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力

解题思路

本题考查函数恒成立问题，解题步骤如下：

2)先研究f(x)＝的单调性，在(－∞，1)为增函数，在(1，＋∞)为减函数；转化得出[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(2)]，即S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2)

求出即可；

易错点

不会转化|f(xi＋1)－f(xi)|，进而求出最值

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）对于给定的实数k，函数f(x)＝klnx－在区间[1，e]上具有性质V

解析

（3）证明：f′(x)＝－x＝，x∈[1，e]．

①当k≥e2时，k－x2≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为增函数，

所以S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x1)－f(x0)]+[ f(x2)－f(x1)]+…+[ f(x n)－f(xn-1)]

＝f(x n)－f(x0)＝f(e)－f(1)＝k+－e2．

因此，存在正数A＝k+－e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V．

②当k≤1时，k－x2≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为减函数，

所以S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x0)－f(x1)]+[ f(x1)－f(x2)]+…+[ f(xn-1)－f(xn)]

＝f(x0)－f(xn)＝ f(1)－f(e)＝ e2－k－．

因此，存在正数A＝e2－k－，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V

③当1＜k＜e2时，由f′(x)＝0，得x＝；当f′(x)＞0，得1≤x＜；

当f′(x)＜0，得＜x≤e，因此f(x)在[1，)上为增函数，在(，e]上为减函数．

设xm≤＜xm+1，m∈N，m≤n－1

则S＝|f(xi＋1)－f(xi)

＝|f(x1)－f(x0)|+…+|f(xm)－f(x m－1)|+ |f(xm+1)－f(x m)|+ |f(xm+2)－f(x m+1)|+…+|f(xn)－f(x n－1)

＝f(x1)－f(x0)+…+f(xm)－f(x m－1) + |f(xm+1)－f(x m)|+ f(xm+1)－f(x m+2) +…+f(xn－1)－f(x n)

＝f(xm)－f(x0) + |f(xm+1)－f(x m)| + f(xm+1)－f(x n)

≤f(xm)－f(x0) + f(xm+1)－f(x n)+ f()－f(xm+1)+ f()－f(xm)

＝2 f()－f(x0)－f(x n)＝klnk－k－[－+k－e2]＝klnk－2k＋+e2．

因此，存在正数A＝klnk－2k＋+e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V．

综上，对于给定的实数k，函数f(x)＝klnx－x2 在区间[1，e]上具有性质V．

考查方向

本题考查了函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力

解题思路

本题考查函数恒成立问题，解题步骤如下：

3)先研究函数f(x)＝klnx－x2的单调性，分类讨论分别利用（1）和（2）问的方法求出即可

易错点

不会转化|f(xi＋1)－f(xi)|，进而求出最值

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

7.若实数满足则的最小值为

A

B2

C2

D4

正确答案

C

解析

，，所以，当且仅当b=2a时取等号，所以ab的最小值为，故选C选项。

考查方向

本题主要考察基本不等式求最值，意在考察考生的转化能力。

解题思路

根据得到，然后利用基本不等式得到，求出ab的最小值即可。

易错点

不会利用基本不等式得到

知识点

不等式的性质基本不等式的实际应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 4 分

4．下面是中国近代出口商品分类比重表（%）。它反映了中国近代经济的哪些特点？（）

①自然经济仍占统治地位

②外国资本在中国占绝对优势地位

③中国经济具有半殖民地经济的特点

④近代工业有了一定的发展

A①②③

B②④

C③④

D①③④

正确答案

C

解析

此题考查学生对表格信息的提取概括能力。根据材料我们可以看到从1893-1930年，中国近代出口商品中农产品比重不断上升，手工业产品不断下降，机器产品有所上升，说明我国自然经济不断解体，我国近代工业（机器制造业）有所发展，我国被迫卷入资本主义世界市场，半殖民地经济特征日益明显。故正确答案选择C项。

考查方向

近代中国经济结构的变化

解题思路

此题考查学生对表格信息的提取概括能力。根据材料我们可以看到从1893-1930年，中国近代出口商品中农产品比重不断上升，手工业产品不断下降，机器产品有所上升，说明我国自然经济不断解体，我国近代工业（机器制造业）有所发展，我国被迫卷入资本主义世界市场，半殖民地经济特征日益明显。故正确答案选择C项。

易错点

本题易错点在于对材料信息提取不准确

知识点

不等式的性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 4 分

8．2016年1月18日，蔡英文获得台湾地区领导人选举胜利。美国、德国等多国发表声明说，将维持着一贯的“一个中国”政策，与台湾保持合作关系。下列有关台湾的历史事实阐述正确的是（）

A邱逢甲是甲午战争后反割台斗争中著名的清军将领

B开罗会议和德黑兰会议都明确陈述台湾是中国领土

C朝鲜内战爆发后，美国出动第七舰队进驻台湾海峡，干涉中国内政

D1979年元旦，全国人大常委会发表《告台湾同胞书》，并宣布停止炮击大小金门

正确答案

C

解析

此题考查对台海关系史实的认知能力。A项丘逢甲是义军首领，B项德黑兰会议未明确表述，C项朝鲜战争期间美国干涉我国内政，派第七舰队进驻台湾海峡阻止台湾解放，D项《告台湾同胞书》宣布采用和平方式统一祖国的方针，宣布停止炮击金门的命令的是中华人民共和国军事委员会。故正确答案选C项。

考查方向

祖国统一大业-台海局势

解题思路

此题考查对台海关系史实的认知能力。A项丘逢甲是义军首领，B项德黑兰会议未明确表述，C项朝鲜战争期间美国干涉我国内政，派第七舰队进驻台湾海峡阻止台湾解放，D项《告台湾同胞书》宣布采用和平方式统一祖国的方针，宣布停止炮击金门的命令的是中华人民共和国军事委员会。故正确答案选C项。

易错点

本题易错点在于误选D项，原因在于对教材细节知识把握不准确。

知识点

不等式的性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6．若，则的大小关系

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，，，所以，故选D．

考查方向

比较大小，定积分．

解题思路

先求定积分，再比较大小。

易错点

定积分求不出来

知识点

定积分的计算不等式的性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

15. 下列四个命题中，

为真命题的是（）

A若，则

B若，则

C若，则

D若，则

正确答案

C

解析

当时，若，则，所以A是错误的；

同向不等式有可加性，而同向相减则不一定成立；

如虽然可得出，但是不能推出，所以B是错误的；

只有同号不等式才具有可倒性，否则不一定成立。如推不出，所以D是错误的。

因为，所以，所以C是正确的。

考查方向

本题主要考查了不等式的基本性质。

解题思路

本题考查了不等式的基本性质，适宜于采用排除法求解。

易错点

本题必须注意讨论字母的取值范围，忽视则会出现错误。

知识点

命题的真假判断与应用不等式的性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知（为实数），在处的切线方程为．

27.求的单调区间；

28.若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，由条件可得：

的减区间为，

没有递增区间；

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

先利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由⑴可知，在上的最小值为

只需对任意恒成立

令

当时，单调递减，当时，单调递增

而的最大值为只需；

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

先利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知函数的图像在点处的切线为．

27.求函数的解析式；

28.当时，求证：；

29.若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，由已知解得，故

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

令，由得

当时，，单调递减；当时，，单调递增

∴，从而

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

对任意的恒成立对任意的恒成立

令,∴由28题可知当时，恒成立令，得；得∴的增区间为，减区间为，∴，∴实数的取值范围为

考查方向

利用导数求最值和极值；利用导数研究函数的图像特征;

解题思路

先根据导数的性质求切线的斜率，进而求出参数的值，得到函数的解析式,利用导数的性质作出函数大致图像,结合图像,利用分类讨论思想求K的取值范围.

易错点

求导错误，函数性质理解错误;分类讨论有重有漏

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知首项不为0的等差数列中，前n项和为，满足，且成等比数列．

20.求和；

21.记，数列的前项和．若对任意恒成立，求实数m的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于数列的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤进行求解，（2）要注意对进行裂项；（3）要注意利用数列的单调性.

（Ⅰ）设公差为d，

则即

由①得，代入②式得，

由，得，所以，

所以，则．

考查方向

本题主要考查了等差数列、等比数列以及数列的求和，数列的考查主要分以下几类：1.等差数列与等比数列的综合，2.数列的通项与前项和的关系，3.与函数有关的数列问题，4.与不等式有关的数列问题.

解题思路

本题考查等差数列、等比数列、裂项抵消法求和，解题步骤如下：

1）设出公差，利用等比中项求公差；

2）利用等差数列的公式得到通项和前项和；

3）利用裂项抵消法进行求解；

4）利用单调性求解。

易错点

1）不能准确裂项；

2）注意数列的单调性的应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

试题分析：本题属于数列的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤进行求解，（2）要注意对进行裂项；（3）要注意利用数列的单调性.

（Ⅱ）可得，

所以

由于为随n的增大而增大，可得，

因为恒成立，所以解得．

所以实数m的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了等差数列、等比数列以及数列的求和，数列的考查主要分以下几类：1.等差数列与等比数列的综合，2.数列的通项与前项和的关系，3.与函数有关的数列问题，4.与不等式有关的数列问题.

解题思路

本题考查等差数列、等比数列、裂项抵消法求和，解题步骤如下：

1）设出公差，利用等比中项求公差；

2）利用等差数列的公式得到通项和前项和；

3）利用裂项抵消法进行求解；

4）利用单调性求解。

易错点

1）不能准确裂项；

2）注意数列的单调性的应用.

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

若，则，从而有，故为充分条件，若不一定有，比如，，从而不成立，故选B 选项.

考查方向

本题主要考察充要条件和指数、对数的运算等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和运算求解能力。

解题思路

直接根据充要条件的判断方法判断即可。

易错点

对于的求解出错，不注意对数的适用范围。

知识点

充要条件的判定不等式的性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知函数．

26.若函数在x＝0处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；

27.若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

28.若，且，判断与的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅰ），在x＝0处切线斜率k＝，切线l：，

又，设l与相切时的切点为，则斜率，

则切线l的方程又可表示为，

由解之得a＝．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

a＝．

（Ⅱ）由题对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，

令，则，由得，

则当x＞0时，，

由，得，即实数a的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）＞.

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅲ）＞．理由如下：

由题，由得，

当＜x＜a时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以， ①

同理， ②

①＋②得，

因为，

由得，即，

所以，即，

所以＞．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

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