· 数列的概念与简单表示法

· 由数列的前几项求通项

由数列的前几项求通项
共778题

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由数列的前几项求通项
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1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知正实数成等比数列，求证：。

正确答案

见解析。

解析

因为正实数成等比数列，所以，

即有（当且仅当时等号成立），

则，

即证.

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知在等比数列中，，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若，恒成立，求的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）设公比为，则.

.………………2分

时，.

∴…………………5分

（2），，

两式相减得：.

∴时，；

时，，，

两式相减得：.

∴,有.………………7分

,

记，则，

∴，

∴数列递增，其最小值为.

故.…………………12分

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知（其中是自然对数的底数）.

（1）若，恒成立，求的取值范围；

（2）若数列满足，且，证明：

（ⅰ）数列的各项为正且单调递减；

（ⅱ）.

正确答案

见解析

解析

（1）.

在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

∴.∴.…………………4分

（2）（ⅰ）用数学归纳法证明.

当时，，结论成立；若时结论成立，即.

令，则，在上，递增.

而，∴在上，∴.

于是，由,即，时结论成立.

由数学归纳原理，.

又由（1）知时，.

∴,数列单调递减.……………………9分

（ⅱ）我们先证明.①

.②

令，则

，

在上，，递增.

而，∴在上，.

故②成立，从而①成立。

由于，所以

.…………………14分

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知矩阵的逆矩阵，求矩阵。

正确答案

见解析。

解析

设，则由得，

解得所以.

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

设等差数列的首项为1，公差d（），m为数列中的项。

（1）若d=3，试判断的展开式中是否含有常数项？并说明理由；

（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，的展开式中均不含常数项。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以，

假设的展开式中的第r+1项为常数项（），

，于是.

设，则有，即，这与矛盾.

所以假设不成立，即的展开式中不含常数项.

（2）证明：由题设知an=，设m=，

由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，

必须有：对于，满足=0的r无自然数解，

即.

当d=3k时，.

故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项，

知识点

由数列的前几项求通项

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