热门试卷

解：矩阵M的特征多项式为=

因为方程的一根，所以

由,得

设对应的一个特征向量为,则,得

令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

解:因为是正数，所以

同理，将上述不等式两边相乘，

得,

因为,所以

（1）由已知可得，即，

即 即     （2分）

∴

累加得

又∴(6分)

（2） 由（1）知，∴，

∴

（12分）

（1）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减。

函数在处取得极大值，故.…………………………3分

（2）令，………4分

则.

函数在上可导，存在，使得.

又

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有.…………………………8分

（3）用数学归纳法证明。

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.…………………………9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足令，

则，且.

…………13分

当时，结论也成立。

综上由①②，对任意，，结论恒成立. ……………………14分