热门试卷

（1）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；

；…，从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形。

数列能结束，各数列依次为；；；。

（2）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是。

若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束。

当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”。

当时，数列。

由数列为常数列得，解得，从而数列也

为常数列。

其它情形同理，得证。

在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列。

所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是。

（3）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”。

证明：记数列中最大项为，则。

令，，其中。

因为，  所以，

故，证毕。

现将数列分为两类。

第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，。   

第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时。

下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列。

不妨令数列的第一项为，第二项最大()，（其它情形同理）

① 当数列中只有一项为时，

若()，则，此数列各项均不为

或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若，则；

此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若()，则，此数列各项均不为，为第一

类数列；

若，则；；，

此数列各项均不为，为第一类数列。

② 当数列中有两项为时，若()，则，此数列

各项均不为，为第一类数列；

若()，则，，此数列

各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列。

③ 当数列中有三项为时，只能是，则，

，，此数列各项均不为，为第一类数列。

总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少。

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束。