由数列的前几项求通项
共778题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知前项和为的等差数列的公差不为零，且，又，，成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数对，使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）因为，，成等比数列，所以。

设数列的公差为，则. 2分

将代入上式化简整理得. 又因为，所以.

于是，即数列的通项公式为.

3分

（2）假设存在正整数对，使得，则由（Ⅰ）知.

当时，不成立，于是.

3分

因为为正整数，所以，即，且5被整除，

故当且仅当，或时，为正整数. 2分

即当时，；时，；时，.

故存在正整数对，，，使得成立. 2分

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列

（1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列；

（3）设对一切正整数n均成立，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），

为等差数列，又，。

。 …………………（4分）

（2）设，则

3。

。

。…………………（8分）

（3）由已知得，从而求得猜测C1最大，下证：

，

∴ 存在，使得对一切正整数均成立。 …………………（12分）

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A11种

B20种

C21种

D12种

正确答案

解析

若前一个开关只接通一个，则后一个有，此时有种，若前一个开关接通两一个，则后一个有，所以总共有，选C.

知识点

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题型：填空题

填空题 · 4 分

将三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有________种.（用数值作答）

正确答案

解析

先填第一行，则第一行有种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2=12（种）

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是。

正确答案

解析

杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形。

∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是n，

则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是＝。

知识点

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