由数列的前几项求通项
共778题

· 由数列的前几项求通项

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题型：填空题

填空题 · 5 分

在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n=　　。

正确答案

解析

=（9+9.5+m+10.5+11）=（40+m），=（11+n+8+6+5）=（30+n）

∵其线性回归直线方程是：，

∴（30+n）=﹣3.2×（40+m）+40，

即30+n=﹣3.2（40+m）+200，又m+n=20，

解得m=n=10

故答案为：10。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心，研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为……………………（）

正确答案

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a8=2，S11=　　。

正确答案

解析

由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2，

故S11===11

故答案为：11

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，数列{an}满足a1=3a，an+1=f（an），设，数列{bn}的前n项和为Tn。

（1）求b1，b2的值；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵f（x）=（a＞0），a1=3a，an+1=f（an），

∴a2=f（a1）==a。

由bn=得b1=，b2=…2分

（2）∵an+1=，bn=，

∴bn+1====…4分

又b1=，故对一切正整数n，都有bn＞0，

∴lgbn+1=2lgbn，

又lgb1=lg=﹣lg2≠0，

∴{lgbn}是以2为公比，首项为﹣lg2的等比数列。

故lgbn=（﹣lg2）×2n﹣1=lg

∴bn=

（3）由（2）得Tn=+++…+，

当n≤3时，Tn≤++=＜；

当n＞3时，Tn=+++…+=+[++…+]，

又当n＞3时，2n﹣1=（1+1）n﹣1＞1++＞1+（n﹣1）+1=n+1，

∴Tn＜+[++…+]

=+[1﹣]＜+=

综上，Tn＜

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

设数列，，，已知，，，，，（）。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任意，为定值；

（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为，，所以（），　　…………………（１分）

所以，，

，　　　　…………………………………（2分）

即数列是首项为，公比为的等比数列， …………………………（3分）

所以。 ………………………………………………………（4分）

（2）解法一：， ……………………………………（1分）

因为，所以，，

猜测：（）。 ……………………………………………………（2分）

用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立； ………………………………………（3分）

②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立。 …………………（5分）

由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值，…………（6分）

解法二：， ……………………………………（1分）

所以，………………………………（4分）

而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值，………………………………………………………………………（6分）

（3）由（1）、（2）知，所以，…………（1分）

所以，

所以， …………………………………………（2分）

由得，

因为，所以， ……………………（3分）

当为奇数时，随的增大而递增，且，

当为偶数时，随的增大而递减，且，

所以，的最大值为，的最小值为。 …………………（4分）

由，得，解得。 …………（6分）

所以，所求实数的取值范围是

知识点

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