由数列的前几项求通项
共778题

· 由数列的前几项求通项

由数列的前几项求通项
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列{an}的首项a1=a，前n项和为Sn，且a2，Sn，2an+1成等差。

（1）试判断{an}是否成等比数列，并说明理由；

（2）当a>0时，数列{bn}满足，且。记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1≤aTn<2。

正确答案

见解析

解析

解：（1）∵，∴当

两式相减得

又当n=1时，，

当a1=a=0时，此时an=0，{an}不是等比数列，

（2）∵，

∴

∴，

∵，∴，∴，又，∴.

而当n=1时，aTn=1，

故1≤aTn<2

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S8是数列{Sn}中的唯一最小项，则{an}数列的首项a1的取值范围是　　。

正确答案

（﹣8，﹣7）

解析

解：∵数列{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，

∴=。

∵S8是数列{Sn}中的唯一最小项，∴，解得﹣8＜a1＜﹣7。

∴{an}数列的首项a1的取值范围是（﹣8，﹣7）。

故答案为（﹣8，﹣7）。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的首项（是常数，且），

，数列的首项，

（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。

正确答案

见解析

解析

解：（1） ,由，得,

,因为，所以，即从第2项起是以2为公比的等比数列。

（2），当时，，因为是等比数列，故为常数，因为，故

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数在上的最大值为（）。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；

（3）设数列的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有成立。

正确答案

见解析。

解析

（1）

，

当时，由知或，

当时，则，时，，在上单调递减，

所以

当时，，时，，时，，

∴在处取得最大值，即，

综上所述，。

（2）当时，要证，只需证明

∵

∴,所以，当时，都有成立。

（3）当时，结论显然成立；

当时，由（II）知

。

所以，对任意正整数，都有成立。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列中，对一切自然数，都有且首项为，若。

（1）用表示，并求数列的通项公式；

（2）若表示数列的前项之和，则。

正确答案

见解析

解析

（1）由，得，故，

记，则，再记，

且，

所以

（2）由条件可得：，则，即

，即，于是有，

，即。

知识点

由数列的前几项求通项

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