热门试卷

（1）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减。

函数在处取得极大值，故.………………………3分

（2）令，………4分

则.

∵函数在上可导，存在，

使得.

，

∵当时，，单调递增，；

∵当时，，单调递减，；

故对任意，都有.…………………………8分

（3）用数学归纳法证明。

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.            …………………………9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足，令，

，则，且.

>

>

           …………………………13分

当时，结论也成立。

综上由①②，对任意，，结论恒成立. …………………………14分

（1）由题意，当时，有，

两式相减，得，

所以，当时，是等比数列，要使时是等比数列，

则只需，从而得出。

（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴

∴

∴   ①

上式两边乘以3得  ②

①－②得

∴

（3） 由（2）知，∵

∵，，∴

∵，

∴数列递增.

由，得当时，cn>0.

∴数列的“积异号数”为1.

（1）解法1：∵

当n=1时，f1'（x）=（1﹣x）（1﹣3x）

当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，

∴，

当n=2时，f2'（x）=2x（1﹣x）（1﹣2x）

当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，

∴

解法2：当n=1时，，则

当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，

当n=2时，，则=2x（1﹣x）（1﹣2x）

当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，

∴

（2）令fn'（x）=0得x=1或，

∵当n≥3时，且当时fn'（x）＞0，

当时fn'（x）＜0，

故fn（x）在处取得最大值，

即当n≥3时，=，

当n=2时（*）仍然成立，

综上得

（3）当n≥2时，要证，只需证明，﹣﹣﹣﹣﹣

∵

∴对任意n∈N*（n≥2），都有成立。