由数列的前几项求通项
共778题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________。

正确答案

解析

由，，，…，可知，由，可知，易知，则21是53的分解中最小的正整数，可得，故。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且满足，数列为等差数列，且，。

(1)求数列与的通项公式；

(2)若，，求的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意得，

当时，，

又，所以

设等差数列的公差为，由，，

可得，解得。

所以，所以。

(2)由(1)得，当时，，当时，，

所以当时，；

当时，

。

记， ①

，②

①－②得，

故，

则。

因为，所以。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

在数列中，，且.

（1）求，猜想的表达式，并加以证明；

（2）设，求证：对任意的自然数，都有；

正确答案

见解析。

解析

（1）容易求得：，

故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

（i）显然当时，结论成立，

（ii）假设当；时（也可以），结论也成立，即

，

那么当时，由题设与归纳假设可知：

即当时，结论也成立，综上，对,成立。

（2）

所以

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列满足：，，，数列的前项和为，且，。

（1）求数列，的通项公式；

(2)令数列满足，求数列的前项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1。

∴数列的通项公式为，（2分）

∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）

又，∴，∴数列的通项公式为，（6分）

(2)由已知得：。

∴，

∴，（8分）

∴两式相减得

，（10分）

∴数列的前项和，（12分）

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

某学校某班文娱小组的每位组员唱歌、跳舞至少会一项，已知已知会唱歌的有2人，会跳舞听有5人，现从中选2人。设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且。

（1）请你判断该班文娱小组的人数并说明理由；

（2）求的分布列与数学期望。

正确答案

见解析。

解析

解法一：（1）设既会唱歌又会跳舞的有x人，那么由题意可知：

只会唱歌的有（2-x）人，只会跳舞的有（5-x）人，

文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人。

显然x可以取得的值只有0，1，2

① 当x=0时，为不可能事件，显然不符合题意

② 当x=1时，是对立事件，且

所以x=1时不符合题意

③当x=2时，符合题意。

综上可知道：既会唱歌又会跳舞的有2人，且文娱队中共有5人

（2）的可能取值为0，1，2

，

∴ =，

解法二：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人。

（1）∵，∴，

即，∴，∴x=2。

故文娱队共有5人，

（2）的可能取值为0，1，2

，

∴ =，

知识点

由数列的前几项求通项

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