等差数列与等比数列的综合
共59题

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等差数列与等比数列的综合
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题型：简答题

简答题 · 18 分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

(1) 若具有性质. 且, , , , ，求；

(2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；

(3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

正确答案

(1)

∴

(2)设的公差为，的公差为，则

∴

∵,

而,

但

故不具有性质

(3) 充分性：若为常数列，设

则

若存在使得，

则,

故具有性质

必要性：若对任意，具有性质

则

设函数,

由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个，使得

∴

故

∴是常数列

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为等差数列，且满足，．

17.求数列的通项公式；

18．记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）;

解析

（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知

解得

所以,得

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和等比中项的定义等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

利用等差数列的基本量的运算求解即可；

易错点

利用等差数列的基本量求通项公式时运算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）2

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

∴，，

因成等比数列，所以，从而，

即，,解得或（舍去）

∴

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和等比中项的定义等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

根据公式先求后利用题中给出的条件得到解方程即可。

易错点

不会转化题中的条件成等比数列。

题型：简答题

简答题 · 12 分

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，．

20.求数列，的通项公式；

21.当时，记，求数列的前n项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）或；

解析

（Ⅰ）由题意有，即，解得或

故或.

考查方向

1、等差数列；2、等比数列；

解题思路

（Ⅰ）由已知可列出方程组，解之得即可得出所求的结果；

易错点

公式记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

由，知，，故，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故.

考查方向

错位相减法；

解题思路

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，于是，易发现：的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.

易错点

不知道用错位相减法求和。

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，.

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的通项公式；

（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

正确答案

（1），.

（2），.

（3）

解析

试题分析：本题属于数列综合问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）（2）直接按照单调数列定义来求（3）构造新数列时，要把握问题的本质。

（1）因为单调递增，所以，，

所以，.

（2）根据题意可知，，，因为，所以

可得即，又因为，所以单调递增，

则，，所以，即，，

所以是公差为2的等差数列，，.

（3）构造，其中，.

下证数列满足题意.

证明：因为，所以数列单调递增，

所以，，

因为，

所以数列单调递增，满足题意.

考查方向

本题考查了等差、等比数列的定义与性质，数列单调性的理解与运用。

解题思路

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系。解综合问题的成败在于审清题意，通过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系与隐含条件。

易错点

1、数列单调性的巧妙运用。

2、第三问中构造不正确得不到正确结论。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知各项均不相等的等差数列的前四项和为16，且成等比数列.数列满足.

22.求数列的通项公式的前n项和；

23.是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了等差、等比数列的基本运算，考察了利用裂项相消法求和，考察了不等式的整数解。

解题思路

借助等差数列前4项和，与成等比数列写出方程组解出答案。

解析式裂项，求前n项和

易错点

本题易错于裂项等号不成立，第二问不理解题意

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了等差、等比数列的基本运算，考察了利用裂项相消法求和，考察了不等式的整数解。

解题思路

根据等比数列性质写出关系式

解不等式确定取值

易错点

本题易错于裂项等号不成立，第二问不理解题意

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