由an与Sn的关系求通项an
共102题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”，例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7.考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列。

（1）若，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列的个数；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列有6个，

3，5，1，2，4；……………2分

3，5，1，4，2；　　　

3，5，2，1，4；

3，5，2，4，1；

3，5，4，1，2；

3，5，4，2，1；………………4分

（2）

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知各项为正的数列的前项和为，且对任意正整数，有

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列的前项和为，求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

解：

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列{}的前n项和，求；

（3）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，当时，有，

两式相减得即.

由，得.

所以对一切正整数n，有，

故，即.

（2）由（1），得，

所以 ①

①两边同乘以，得 ②

①-②，得，

所以，

故.

（3）由（1），得

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列成等差数列.

（1）的通项公式；

（2）数列.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

正项数列的前项和为满足：。

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有。

正确答案

见解析

解析

（1），，解得

当时，；

当时，（不适合），所以

（2）当时，，；

当时，，

综上，对于任意的，都有。

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

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