由an与Sn的关系求通项an
共102题

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由an与Sn的关系求通项an
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题型：简答题

简答题 · 14 分

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且。

（1）求a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；

（2）解不等式。

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.数列对一切正整数n都有，其中是{an}的前n项和，则=（）

D-4

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

题型：单选题

单选题 · 3 分

8.Sn为等比数列{an}的前n项和，满足al=l，，则{an}的公比为

A-3

C2或-3

D2或-2

正确答案

解析

因为，所以当，两式相减得：，即，解得q=2或-2；当，即，解得q=2或-3因此q=2，故选B。

考查方向

本题主要考查了等比数列性质。

解题思路

因为，所以当，两式相减得：，即，解得q=2或-2，所以还要考虑当的情况。

易错点

不能正确排除干扰选项-3和-2。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的基本运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

17. 设数列的前项和，且是的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和，求证：.

正确答案

（1）

（2）略

解析

（1）由已知，有，

即.

从而，.

又因为是的等差中项，即.解得.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.故.

（2）由（1）得，所以，

两式相减

因为-=,所以数列递减

即,从而

考查方向

本题主要考查了等差和等比数列的基本性质以及等比数列求和错位相减法的运用，难度较小，属高考热点问题之一。数列问题在高考中常常涉及根据递推式求通项公式，数列的求和以及数列和不等式的结合等问题。

解题思路

第一问直接利用，找出相邻两项之间的关系，然后再根据等差中项的性质求出首项即可。第二问用错位相减法得到前n项和，然后直接得到小于2，再根据数列的单调性得到左边成立。

易错点

1、第一问中不能把灵活运用，或不会求首项；

2、第二问中右边端点通过求和就能证明，但是左边端点不能想到结合函数的单调性来解决。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

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