由an与Sn的关系求通项an
共102题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

设数列{}的前n项和为，已知=1，，且=.

22.证明：=3

23.求S

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

当，有，

两式相减，得，即，然后验证当时，命题成立即可；

易错点

不说明当n=1的情况导致丢分；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，，所以，于是数列是首项为1，公比为3的等比数列，数列是首项是2，公比为3的等比数列，所以，

于是，从而，

综上所述，

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

通过求数列的奇数项和偶数项的和即可得到其对应的前n项和的通项公式。

易错点

不会分类求和，或不知道该如何求和。

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 在数列中，，，其中，.

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；

（Ⅲ）当时，证明：存在，使得.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ），，.

（Ⅱ）成等差数列，

，

即，

，即.

，.

将，代入上式，解得.

经检验，此时的公差不为0.

存在，使构成公差不为0的等差数列.

（Ⅲ） ,

又，令.

由，

，

……

，

将上述不等式相加，得，即.

取正整数，就有.

考查方向

等差数列；利用不等式证明数列不等式

解题思路

根据数列的定义，证明存在够成功公差不为0的等差数列，将不等式逐一相加，可证明结论。

易错点

想不到利用不等式叠加的性质计算

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.数列满足.数列满足，则中的最大项的值是 .

正确答案

解析

由题意可知，，所以，所以，通过观察可得，当n=3，时，bn有最大值，最大值为

考查方向

数列的通项；数列的最大值最小值

解题思路

先求出an的通项公式，再判断bn中函数的值。

易错点

通过an求bn的通项时错误

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：填空题

填空题 · 5 分

正确答案

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：．

正确答案

证明，（Ⅰ）因为，

当时，，

两式相减，得，

即，

所以当时，．

所以．

因为，所以．

（Ⅱ）因为，，，

所以．

所以

．

因为，所以．

因为在上是单调递减函数，

所以在上是单调递增函数．

所以当时，取最小值．

所以．

解析

本题属于数列应用中的基本问题，两问难度相当，（I）直接按照步骤来求（II）要裂项相消求和即可．

考查方向

本题考查了数列的相关知识点：

1、利用递推公式推导通项公式；

2、数列中的关系；

3、利用递推公式求解通项公式要单独把n=1拿出来验证；

4、数列中常用的求和方法----裂项法。

解题思路

易错点

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

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