直线和圆的方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）。

正确答案

见解析

解析

设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，

则Ai（i＝0,1,2,3）与Bj（j＝0,1）独立。

（1）恰好摸到1个红球的概率为

P（A1）＝.

（2）X的所有可能值为0,10,50,200，且

P（X＝200）＝P（A3B1）＝P（A3）P（B1）＝，

P（X＝50）＝P（A3B0）＝P（A3）P（B0）＝，

P（X＝10）＝P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝，

P（X＝0）＝.

综上知X的分布列为

从而有E（X）＝0×＋10×＋50×＋200×＝4（元）

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝__________，AB＝__________.

正确答案

　4

解析

设PD＝9k，则DB＝16k（k＞0）。

由切割线定理可得，PA2＝PD·PB，

即32＝9k·25k，可得.

∴PD＝，PB＝5.

在Rt△APB中，AB＝＝4.

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

不合题意排除

合题意排除

另：，

得：

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝__________.

正确答案

解析

∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①

又∵b＋c＝2a，②

∴由①②可得，，，

∴，∴.

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两条直线垂直的判定

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数f（x）＝4cos ωx·（ω＞0）的最小正周期为π。

（1）求ω的值；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）f（x）＝4cos ωx·sin

＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx

＝（sin 2ωx＋cos 2ωx）＋

.

因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有，故ω＝1.

（2）由（1）知，f（x）＝.

若0≤x≤，则.

当，即时，f（x）单调递增；

当，即时，f（x）单调递减。

综上可知，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减。

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(　　)。

Ay＝±2x

B

C

D

正确答案

B

解析

由离心率为，可知c＝a，∴b＝a.

∴渐近线方程为，故选B.

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两条直线垂直的判定

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50）, [50,60）, [60,70）, [70,80）, [80,90）, [90,100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A588

B480

C450

D120

正确答案

B

解析

由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道

故分数在60以上的人数为600*0.8=480人。

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）

A

B是的极小值点

C是的极小值点

D是的极小值点

正确答案

D

解析

A.，错误。是的极大值点，并不是最大值点。

B.是的极小值点，错误。相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点

C.是的极小值点，错误。相当于关于x轴的对称图像，故应是的极小值点，跟没有关系。

D.是的极小值点，正确。相当于先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像，故D正确

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两条直线垂直的判定

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z＝(　　)。

A1＋i

B1－i

C－1＋i

D－1－i

正确答案

A

解析

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，

即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，

所以2a＝2，a2＋b2＝2b，

所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.

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两条直线垂直的判定

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点。

（1）求抛物线的方程；

（2）当点为直线上的定点时,求直线的方程；

正确答案

（1）4y; （2）0;

（3）当点在直线上移动时,求的最小值.

解析

（1）依题意,设抛物线的方程为,由结合,

解得.

所以抛物线的方程为.

（2）抛物线的方程为,即,求导得

设,（其中）,则切线的斜率分别为,,

所以切线的方程为,即,即

同理可得切线的方程为

因为切线均过点,所以,

所以为方程的两组解.

所以直线的方程为.

（3）由抛物线定义可知,,

所以

联立方程,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得,

所以

又点在直线上,所以,

所以

所以当时, 取得最小值,且最小值为.

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两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝__________.

正确答案

：

解析

由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为（2,0），点P的直角坐标为（2,），所以|CP|＝.

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两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a＋i）·（1＋i）＝bi，则a＋bi＝__________.

正确答案

1＋2i

解析

由（a＋i）（1＋i）＝a－1＋（a＋1）i＝bi，得解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为__________。

正确答案

解析

∵AE为圆的切线，

∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED.

又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.

∵∠EAB为弦切角，且AB＝AC，

∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.

∴EA∥BC.又BD∥AC，

∴四边形EBCA为平行四边形。

∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.

由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，

∴.

又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝.

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两条直线垂直的判定

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数f（x）＝＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值。

正确答案

（1） π；（2）－2

解析

（1）f（x）＝sin 2x·＋3sin 2x－cos 2x

＝2sin 2x－2cos 2x＝.

所以，f（x）的最小正周期T＝＝π。

（2）因为f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f（0）＝－2，，，故函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为－2.

知识点

两条直线垂直的判定

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞0，b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为__________。

正确答案

解析

设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.

∵，∴，即.

∴a2（a2－c2）＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.

∴.

知识点

两条直线垂直的判定

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