热门试卷

解析：（1）证：，

，即有；

又，为中点，则

  ……………………………4分

（2）如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系,则有

，设，且，即有，

所以点坐标为.  ……………………………7分

由条件易得面地一个法向量为…………….8分

设平面地一个法向量为，

由可得

令，则有，    …………………………………10分

则,得

所以，当时，二面角的大小为…………………12分

（1）证明：连结OA,因为⊙O的直径为15，所以OA=OB=7.5

又PA=10，PB=5，所以PO=12.5

在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25

即PO2= PA2+OA2，所以PA⊥OA，又点A在⊙O上

故PA与⊙O相切

（2）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB,

又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴   

设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径且BC=15 ，AB⊥AC

∴    所以

∴      

（1）由得

所以直线的普通方程为：，

由

又

所以，圆的标准方程为

（2）因为直线与圆恒有公共点， 所以，

两边平方得

所以a的取值范围是.

（1）设E是DC的中点，连接BE，

则四边形DABE为正方形，∴BE⊥CD，故BD=，BC=，CD=2，

∴∠DBC=90°，即BD⊥BC。

又BD⊥BB1，B1B∩BC=B

∴BD⊥平面BCC1B1。

（2）由（1）知DB⊥平面BCC1B1，

又BC1⊂平面BCC1B1，∴BD⊥BC1，

取DB的中点F，连接A1F，又A1D=A1B，

则A1F⊥BD，取DC1的中点M，连接FM，则FM∥BC1，∴FM⊥BD。

∴∠A1FM为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角。

连接A1M，在△A1FM中，A1F=，

FM===，

取D1C1的中点H，连接A1H，HM，在Rt△A1HM中，

∵A1H=，HM=1，∴A1M=。

∴cos∠A1FM=。

∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为。

（1）设中点为G，连结，。

因为//，且，，

所以//且，

所以四边形为平行四边形。

所以//，且。

因为正方形，所以//，，

所以//，且。

所以四边形为平行四边形。

所以//，

因为平面，平面，

所以//平面，　　……………………4分

（2）如图建立空间坐标系，

则，，

，，，

所以，，

。

设平面的一个法向量为，

所以。

令，则，所以。

设与平面所成角为，

则。

所以与平面所成角的正弦值是。                  ……………………9分

（3）依题意，可设，则，。

设平面的一个法向量为，

则。

令，则，

所以。

因为平面平面，

所以，即，

所以， 点。

所以。                                            ……………………14分

解析：

（1）证明：因为 四边形为正方形，

所以 .

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                                  ………………2分

因为 平面，

所以 .  ………………4分

（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则.

所以 ，，.     ………………6分

设平面的一个法向量为.

由得

令，得，所以 .                      ………………8分

设与平面所成角为，

则.

所以 与平面所成角的正弦值为.                   ………………10分

（3）解：直线与直线平行. 理由如下：                    ………………11分

由题意得，.

所以 .

所以 .                                                ………………13分

因为 ，不重合，

所以 .                                               ………………14分

另解：直线与直线平行. 理由如下：

取的中点，的中点，连接，，.

所以 且.

因为 为的中点，四边形是正方形，

所以 且.

所以 且.

所以 为平行四边形.

所以 且.

因为 四边形为梯形，，

所以 且.

所以 四边形为平行四边形.

所以 且.

所以 且.

所以 是平行四边形.

所以 ，即.                                 ………………14分

解析：（1）不妨设=1，又，∴在△ABC中，

，∴，

则=，…………………………………1分

所以,又,∴,

且也为等腰三角形.……………………………………………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴，

∵面，∴，∴，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，

又MN平面MNQ

∴AB⊥MN…………………………………6分

（法二），则,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得，，,

,…………………………………4分

∴,

则，所以。…………6分

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，可知

，，面的法向量可取为，

…………………………………8分

设面的法向量为，，，

则即可取，………………10分

∴=，

故二面角的余弦值为。…………………12分

（1）证明：当D是AB中点时。AC1//平面B1CD。

连接BC1，交B1C于E，连接DE。

因为三棱柱是直三棱柱，

所以侧面BB1C1C为矩形。DE为△ABC1的中位线。

所以DE//AC1

所以 AC1∥平面B1CD，     

（2） 由 ，得AC⊥BC，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)。

设D(a, b, 0)（，）

因为 点D在线段AB上，且， 即。

所以

所以，，

平面BCD的法向量为。

设平面B1CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以，，

设二面角的大小为， ，

所以二面角的余弦值为

（1）连接AB，在EA的延长线上取点F，如图①所示。

∵AE是⊙O1的切线，切点为A，

∴∠FAC＝∠ABC,.……………1分

∵∠FAC＝∠DAE，

∴∠ABC＝∠DAE,∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，

∴∠ABC＝∠ADE,……………2分

∴∠DAE＝∠ADE.………………3分

∴EA＝ED,∵,

∴.………………5分

（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，

所以直线CA与⊙O2相切，……………6分

如图②所示，由弦切角定理知：

∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，…………8分

∴由切割线定理知：EA2＝BE·CE，而CB＝2，BE＝6，CE=8

∴EA2＝6×8＝48，AE＝.故⊙O2的直径为.………………10分