棱柱、棱锥、棱台的体积
共114题

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棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型：单选题

单选题 · 5 分

某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是

正确答案

解析

略

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

正确答案

解析

由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45。

，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形。

（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（3）求四棱锥P—ACDE的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：在中，因为

所以

因此，故所以

又所以，

又，

所以，

所以。

（2）解法一：

因为三角形是等腰三角形，

所以，

因此。

又，

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于，在中，，

所以，

故边上的高为2，此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为。

设直线与平面所成的角为，

则，

又，

所以。

解法二：

由（1）知两两垂直，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，由于三角形是等腰三角形，所以，

又，

因此，

因为，

所以四边形是个直角梯形，

因为，

所以，

因此，

故，

所以。

因此，

设是平面的一个法向量，

则，

解得，

取，得，

又，

设表示向量与平面的法向量所成的角，

则，

所以，

因此直线PB与平面PCD所成角为。

（3）因为，

所以四边形四边形是个直角梯形，

因为，

所以，

因此，

故，

所以。

又，

所以四棱锥P—ACDE的体积。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）

正确答案

解析

的外接圆的半径，点到面的距离

为球的直径点到面的距离为

此棱锥的体积为

另：排除

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________。

正确答案

解析

由已知得此几何体的直观图是一个底面是直角三角形且两直角边分别是3,4高是5的直三棱柱在上面截去一个三棱锥，三棱锥从一个顶点出发的三条棱两两垂直，底面边长分别是3,4高是3，如图3所示，红色为截去的三棱锥，所以体积为；

知识点

简单组合体的结构特征简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3。

正确答案

解析

观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形，故体积等于。

知识点

空间几何体的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，点在线段上。

（1）当点为中点时，求证：∥平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，所以。∴。

又是平面的一个法向量， ∵即，

∴∥平面。中学联盟网

（2）设，则，又

设，则，即。

设是平面的一个法向量，则

，，

取得，即

又由题设，是平面的一个法向量，

∴ 。

即点为中点，此时，，为三棱锥的高，

∴ 。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）。

C200

D240

正确答案

解析

由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝×（2＋8）×4×10＝200，故选C

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：单选题

单选题 · 5 分

一个几何体的三视图如图1，则该几何体

的体积为

正确答案

解析

略

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：填空题

填空题 · 5 分

由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________。

正确答案

；

解析

略

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积棱柱、棱锥、棱台的体积

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