热门试卷

解析：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，，……………………3分

由平面，得.由，，得平面。，…………6分

（2）取的中点，的中点，连、、、。， ，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小，………………8分

由，，，得，，，。异面直线与所成的角的大小为，…………12分

注：用向量解相应给分。

（1）解法一：设的中点，联结，，易知在等腰三角形、中，，，故为二面角的平面角。       （2分）

在等腰△中，由及，得。

由平面，得。

在△中，。                            （6分）

故二面角的大小为。

解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，，，。

                        （8分）

于是，。      （2分）

由平面，得平面的一个法向量。

设是平面的一个法向量。

因为，，所以，，

即，，解得，，

取，得。                   （4分）

设与的夹角为，则。                    （6分）

结合图可判别二面角是个锐角，它的大小为。   （8分）

（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为。

该圆锥的体积。                              （12分）

（1）如右图，作A在A1B上的射影D.

∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC， ∴AD⊥BC，

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.

又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，AB侧面A1ABB1，

故AB⊥BC. ………6′

（2）〖法一〗联结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，

取A1C的中点E，连AE，DE，∵A1A=AC，A1A⊥BC， ∴AE⊥A1C，

又AD⊥A1C，∴A1C⊥平面ADE，∴A1C⊥DE，

∴∠AED是二面角B-A1C-A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，

∴，，

∵A1A=AC=2BC=2，∴，AE=

∴.………6′

〖法二〗由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标，

则A(0，，0)，C(1，0，0)，A1 (0，，2)，

∴，，

设平面A1BC的一个法向量为，

平面AA1C的一个法向量为，

则，∴

取，

由，得，取

∴，

，

∴.………12′

解析： （1）证明：∵ 平面，平面

∴

又∵是菱形  ∴

∴平面   ∵平面

∴              …………6分

（2）分别以方向为轴建立空间直角坐标系，设，则

由（1）知：平面的法向量为，令平面PAB的法向量为，

则根据得∴

因为二面角A-PB-D的余弦值为，则，即

   ………………9分

∴

设EC与平面PAB所成的角为，∵，则

    ………………12分

设圆柱下底面圆的半径为，连，

由矩形内接于圆，可知是圆的直径，

于是，得，   ……………3分

又圆柱的体积，可得，……6分

分别以直线为轴，建立空间直角坐标

系，可得，………8分

设异面直线与所成角所成的角，向量与的夹角为，

则，

故异面直线与所成角的余弦值为。     ………………………………12分

以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系，因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以∠，所以。

所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)，

（1）设AD=a，则D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，

=(,－3,0)，若BD⊥AC，则·=3－3(3－a)=0，

解得a=2，而AS=3，所以SD=，

所以，

（2）因为=(0,－3,3)，=(2,0,0)

设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),

则

令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)

而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1),  

所以cos<n1,n2>=，又显然所求二面角的平面角为锐角，

故所求二面角的余弦值的大小为.

（1）当为 中点时,有平面

证明:连结交于,连结∵ 四边形是矩形

∴为中点又为中点,从而

∵平面,平面∴平面

（2）

建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,

所以,。

设为平面的法向量,则有，,即

令,得面的一个法向量为,面的一个法向量为

所以，故二面角的余弦值为

（1）设n为比赛的场数，为第n场比赛的票房收入，

则               （2分）

，组织者至少可以获得票房收入是：万元

（2）（理）当表示决出胜负的比赛场数，则的取值为4，5，6，7，      （5分）

          （6分）             （7分）

             （8分）

                  （9分）

的概率分布列为：

，            （11分）

所以决出胜负的比赛场次的均值为6场.             （12分）

（1）证明：作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原

点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，

以垂直于DB，的直线为z轴，建立空间直角坐

标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，

所以＝，＝，4分

因此·＝，所以AD⊥BC.6分

（2）设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥知：n1·＝

同理由n1⊥知：n1·＝，

可取n1＝，

同理，可求得平面ACD的一个法向量为10分

∴cos〈n1，n2〉＝＝

即二面角B—AC—D的余弦值为12分