热门试卷

(解法一)：

（1）由题意可知  ，

解得  ，                                        …………分

在中，，

∴  ，

又 ∵是的中点，

∴ .　　　　①

∵ 为圆的直径，

∴  .

由已知知  ，

∴  ，

∴   .

∴  .       ②

∴  由①②可知：，

∴  .                           …………分

（2） 由（1）知： ，

∴，，

∴是二面角的平面角 .       …………分

, , .

∴ .

 .    ………分

(解法二)：

建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知.

解得.

则，，， ，

∵是的中点，

∴ 可求得.       …………2分

（1），，

∴ .

∵ ，

∴  .            …………4分

（2）由（1）知,，  ，

，    .

∵，.

∴是平面的法向量.                                     …………8分

设是平面的法向量，

由，，

解得                                                …………10分

.

所以二面角的平面角的余弦值.                   …………12分

（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.

（2）

如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，

∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.         

解析：解法一：

（1）设，连接,

分别是、的中点，则，                                           ……1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；                                                    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.                                                         ……6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，

所以平面，

平面平面，

所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，

故；

所以平面，则。

所以是二面角的平面角。

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解法二：

（1）因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面，                                                                              ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

                  ……4分

，，所以，……6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得，       ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                                  ……10分

，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

（1） 

（2）

由（1）可知，BO⊥平面PAC，故在平面PAC内，作OM⊥A，

连结BM（如图），则∠BMO为二面角的平

面角，在中，易知

即二面角的正切值为   

依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，

空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为＝4，

则

（1），

，∴，∴

，      ∴，∴

∵  平面 ∴ ⊥平面         （4分）

（2） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为

， 即

令x＝2，则

∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为                          （8分）

（3）因为，∴， ∴

∵，

∴            （12分）

（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），

B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

设平面ACM的一个法向量

所以所求角的大小为arcsin。

解析：（1）证明：连结AD1，在△ABD1中

∵E是BD1的中点，F是BA中点，

∴EF//AD1

又EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1

∴EF∥平面ADD1A1.

（2）解法1：延长D1A1至H，使A1H＝D1A1，延长DA至G，使AG＝DA，并连结HG和A1G，则A1G∥D1A∥EF

∴A1G∥平面DEF，

∴A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x

由题意可得，DF＝BC＝AD＝1，连DB，在Rt△D1DB中，DE＝D1B

又DB＝，且DD1＝，

∴，

又

在△DEF中，由余弦定理得：

cos∠EDF＝

∴sin∠EDF

∴S△DEF=，

又点E到平面DGF的距离d＝DD1＝

不难证明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG)

∴

由VE－DGF＝VG－DEF得，x·S△DEF＝d·S△DFG，

∴

∴x＝，即A1到平面DEF的距离为，

设A1F与平面DEF成α角，则

sinα＝，

即A1F与平面DEF所成角的正弦值为.

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz(DG为AB边上的高)

则有

设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

取x＝1解得y＝-，z＝

∴法向量

∵

设A1F与平面DEF所成的角为θ，则

∴A1F与平面DEF所成角的正弦值为.