热门试卷

解析：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，，……………………3分

由平面，得.由，，得平面。，…………6分

（2）取的中点，的中点，连、、、。， ，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小，………………8分

由，，，得，，，。异面直线与所成的角的大小为，…………12分

注：用向量解相应给分。

（1）解法一：设的中点，联结，，易知在等腰三角形、中，，，故为二面角的平面角。       （2分）

在等腰△中，由及，得。

由平面，得。

在△中，。                            （6分）

故二面角的大小为。

解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，，，。

                        （8分）

于是，。      （2分）

由平面，得平面的一个法向量。

设是平面的一个法向量。

因为，，所以，，

即，，解得，，

取，得。                   （4分）

设与的夹角为，则。                    （6分）

结合图可判别二面角是个锐角，它的大小为。   （8分）

（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为。

该圆锥的体积。                              （12分）

（1）如右图，作A在A1B上的射影D.

∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC， ∴AD⊥BC，

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.

又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，AB侧面A1ABB1，

故AB⊥BC. ………6′

（2）〖法一〗联结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，

取A1C的中点E，连AE，DE，∵A1A=AC，A1A⊥BC， ∴AE⊥A1C，

又AD⊥A1C，∴A1C⊥平面ADE，∴A1C⊥DE，

∴∠AED是二面角B-A1C-A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，

∴，，

∵A1A=AC=2BC=2，∴，AE=

∴.………6′

〖法二〗由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标，

则A(0，，0)，C(1，0，0)，A1 (0，，2)，

∴，，

设平面A1BC的一个法向量为，

平面AA1C的一个法向量为，

则，∴

取，

由，得，取

∴，

，

∴.………12′

设圆柱下底面圆的半径为，连，

由矩形内接于圆，可知是圆的直径，

于是，得，   ……………3分

又圆柱的体积，可得，……6分

分别以直线为轴，建立空间直角坐标

系，可得，………8分

设异面直线与所成角所成的角，向量与的夹角为，

则，

故异面直线与所成角的余弦值为。     ………………………………12分