异面直线及其所成的角
共103题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱CC1与D1C1的中点，则直线EF与A1C1所成角正弦值是（）

正确答案

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知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.如图，在五面体中，平面, ，，为的中点，

（I）求异面直线与所成的角的大小；

（II）证明平面平面；

（III）求二面角的余弦值。

正确答案

方法一：

（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（II）证明：因为

（III）

由（I）可得，

方法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，

点为坐标原点。设依题意得

（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.

（II）证明：，

（III）

又由题设，平面的一个法向量为

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知几何体的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形。

（Ⅰ）求此几何体的体积的大小；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）试探究在上是否存在点，使得，并说明理由。

正确答案

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知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．在直三棱柱中，，为中点，，，异面直线与所成角大小为。

（1）求三棱柱的体积；

（2）求二面角的大小。

正确答案

（1）如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

，

解得即

可得：三棱柱的体积为

（2）显然是平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，

，

所以二面角的大小为

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为（）

C0或

D以上皆不对

正确答案

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