异面直线及其所成的角
共103题

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异面直线及其所成的角
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．

（Ⅰ）当平面平面时，求；

（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，可知

由已知可得，

在中，．

（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．

证明如下：

①当在平面内时，因为，

所以都在线段的垂直平分线上，即．

②当不在平面内时，由（Ⅰ）知．

又因，所以．

又为相交直线，所以平面，

由平面，得．

综上所述，总有．

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知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知椭圆C过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与该椭圆交于两不同点、，且直线、、的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的斜率；

（3）求面积的范围．

正确答案

（1）由题意得，可设椭圆方程为

则，解得

所以椭圆的方程为．

（2）消去得:

则

故

因为直线的斜率依次成等比数列

所以

由于故

（3）因为直线的斜率存在且不为，及且．

设为点到直线的距离，则

则 <

所以的取值范围为．

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，

（1）求证：⊥平面；

（2）设λ=(0≤λ≤1)，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值。

正确答案

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，

故,所以,而平面.

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，,.

所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.

侧面,是平面的一个法向量，

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：填空题

填空题 · 5 分

16. 过一定点的互相垂直的两条直线与圆锥曲线分别交于点A、B和C、D，如果线段AB的中点的横坐标为（为直线的斜率），则线段CD的中点的横坐标为（） .

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60O，E，F分别是BC，PC的中点。H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为。

（1）证明：AEPD；

（2）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；

（3）若AB=2，求三棱锥P—AEF的体积。

正确答案

（1）略

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．

（ 1）求证：平面⊥平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围。

正确答案

（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面

（2） ,又，

又,所以面,

建系为轴，为轴，为轴,

，,

平面法向量，平面法向量

，可得.

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图，直三棱柱中，，，是棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为_______．

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 10 分

23. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，在上。

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若为中点，求P到平面AMC的距离；

（3）是否存在，使得二面角余弦值为，若存在，确定位置；若不存在，说明理由。

正确答案

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异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

12．已知直三棱柱ABC-A1B1Cl中，BCA=90o，点E．F分别是A1B1．A1C1的中点，若BC=CA=AA1，则BE与AF所成的角的余弦值为（）

正确答案

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