异面直线及其所成的角_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为( )

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（I）证明：平面ABEF古平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

正确答案

(1) 证明

∵ 平面ABEF为正方形

∴ AF⊥PE

又∵ ∠AFD=90°即AF⊥FD

而FE，FD 平面FECD 且 FE∩FD=F

∴ AF⊥平面EFDC

又AF平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

(II) ∵ 二面角D-AF-E的平面角为60°

∴ ∠DFE=60°

在平在面EFDC内作DO⊥EF 于点O, 则DO⊥平面ABEF.

令AF=4,则DF=2.在△ADF 中， OF=1,OD=

在平面ABEF 内作OA//AF 交AB 于M , 则OM ⊥EF

以O为原点，OM,OE,OD 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则E（0，3，0）,B(4,3,0),C(0,4, ),D(4,-1,0)

直角坐标系，则E（0，3，0），B（4，3，0），C(0，4， )，D（4，-1，0）

设平面EBC法向量为则而

∴∴

(II)

设平面BCA法向量为

则而

∴ ∴

∴

∴ 二面角E-BC-A的余弦值为

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为1，侧棱长为2，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值是 .

正确答案

解析

本题属于空间角的计算问题，题目的难度较小。注意利用向量法比推理法简单。

考查方向

本题主要考查了立体几何的空间角的问题。

易错点

本题必须注意正四棱柱的性质，忽视则会出现错误。

知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有对．

正确答案

48

解析

该几何体是两个全等的正四棱锥底面重合，对接成的组合体，其中侧面均为正三角形。先从相交直线入手，成60°的直线有24对，在考虑异面直线，成60°的直线有24对也有24对，所以共计48对

考查方向

本题主要考察了立体几何中两直线所成的角。

解题思路

分两种类，一类是求所成角为60°的相交直线的对数，另一类是求所成角为60°的异面直线的对数。

易错点

一是几何体的结构想象不出来，还有就是所成角为60°的直线有相交直线，也有异面直线，异面直线可能会出现重复或遗漏。

知识点

异面直线及其所成的角排列、组合的实际应用

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．在下列命题中：

①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；

②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；

③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；

④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.

其中真命题为____________

正确答案

①②③④.

解析

命题①，我们取过D点的三条棱为例，很显然存在一个过D点的面与这三条棱所成的角的相等的。

命题②，同样我们取以D点为顶点的三个面，也同样存在一个面与这三个面的角都是相等的；

命题③，正方体的任何一条体对角线都满足与各棱所成的角都相等；

命题④，以D点为顶点，在对角面中必然存在一条直线，使得它与上底面和侧面所成的角相等，那么这条线就与6个面所成的角都相等。

考查方向

本题主要结合例题几何考查真假命题的判断，主要考察考生的空间想象能力，和转化与化归的思想运用

解题思路

根据空间图形分析，注意正方体中的6个面实际上是3组两两平行的面，12条棱也是3组互相平行的线

易错点

只考虑到了正方体的体对角线和某些特殊的现或面，如果它们不满足题目要求就认为没有这样的线或面

知识点

命题的真假判断与应用异面直线及其所成的角

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图，在四棱锥中，面，底面是直角梯形，是线段的中点.

（1）求证：平面平面

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

见解析

解析

（1）由平面，平面，

于是，有

又

平面，平面

平面平面；

（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.

则

设为面的法向量，则

即，取，得，则

依题意有，则

于是

设直线与平面所成角为，则

则直线与平面所成角的正弦值为.

考查方向

直线与平面平行的判定直线与直线垂直、二面角的平面角的三角函数值

解题思路

利用面面垂直证明线面垂直，利用余弦定理表示出平面角的值

易错点

找不到二面角，辅助线作不出来

知识点

异面直线及其所成的角

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

若是异面直线，则下列命题中的假命题为（　　）

A过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行；

B过直线至多可以作一个平面与直线垂直；

C唯一存在一个平面与直线等距；

D可能存在平面与直线都垂直。

正确答案

D

解析

能存在平面与直线都垂直是错误的，

因为平面与直线都垂直，

则直线平行，与直线是异面是矛盾的。

考查方向

本题主要考查异面直线的概念以及空间想象力，是常考题型

易错点

对空间想象力要求较高，需要一定的基础

知识点

命题的真假判断与应用异面直线及其所成的角空间中直线与直线之间的位置关系

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为1，侧棱长为2，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值是 .

正确答案

解析

试题分析：本题属于空间角的计算问题，题目的难度较小。注意利用向量法比推理法简单。

考查方向

本题主要考查了立体几何的空间角的问题。

解题思路

本题考查异面直线所成的角，解题步骤如下：

利用向量法，建立空间直角坐标系，写出向量AC1和B1C的坐标，再用夹角的余弦公式求解。

。

易错点

本题必须注意正四棱柱的性质，忽视则会出现错误。

知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，AA1⊥平面ABC，且AA1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为（）

A30°

B45°

C60°

D90°

正确答案

D

解析

以A为坐标原点，AC的垂线为X轴，AC为Y轴，AA1为Z轴建立空间直角坐标第，进而点B坐标为，所以记异面直线A1B与B1C所成角为，所以。故选D选项。

考查方向

本题主要考查了立体几何异面直线所成角问题,在近几年的各省高考题出现的频率较高。

易错点

1、本题如用传统方法易卡在作异面直线所成角。

2、用向量法易在一些点的坐标计算上难住。

3、异面直线所成角的范围。

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在三棱锥中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

正确答案

解：，所以，

取PC的中点为D，连结AD，DQ，

则为异面直线PB，AQ所成的角，

，，

因为，

所以

所以异面

直线PB，AQ所成的角为

解析

本题属于空间几何体的基本问题，题目的难度是简单，本题的关键是通过添加辅助线找出异面直线PB，AQ所成的角,

考查方向

本题考查了空间几何体的体积与异面直线的综合应用

易错点

1、找异面直线PB，AQ所成的角容易出错

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角

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