异面直线及其所成的角
共103题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．

（Ⅰ）当平面平面时，求；

（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，可知

由已知可得，

在中，．

（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．

证明如下：

①当在平面内时，因为，

所以都在线段的垂直平分线上，即．

②当不在平面内时，由（Ⅰ）知．

又因，所以．

又为相交直线，所以平面，

由平面，得．

综上所述，总有．

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知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知椭圆C过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与该椭圆交于两不同点、，且直线、、的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的斜率；

（3）求面积的范围．

正确答案

（1）由题意得，可设椭圆方程为

则，解得

所以椭圆的方程为．

（2）消去得:

则

故

因为直线的斜率依次成等比数列

所以

由于故

（3）因为直线的斜率存在且不为，及且．

设为点到直线的距离，则

则 <

所以的取值范围为．

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，

（1）求证：⊥平面；

（2）设λ=(0≤λ≤1)，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值。

正确答案

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，

故,所以,而平面.

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，,.

所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.

侧面,是平面的一个法向量，

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：填空题

填空题 · 5 分

16. 过一定点的互相垂直的两条直线与圆锥曲线分别交于点A、B和C、D，如果线段AB的中点的横坐标为（为直线的斜率），则线段CD的中点的横坐标为（） .

正确答案

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知识点

异面直线及其所成的角

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．

（ 1）求证：平面⊥平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围。

正确答案

（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面

（2） ,又，

又,所以面,

建系为轴，为轴，为轴,

，,

平面法向量，平面法向量

，可得.

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