异面直线及其所成的角_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 6 分

11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.

正确答案

72；32

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1) 若AB=6 m,PO1=2 m，则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？

正确答案

(1)

(2)

当时，，单调递减，

因此，当时，取到最大值，
即时，仓库的容积最大．

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．

19.求三棱锥的体积；

20.求异面直线与所成角的大小．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连，则

∴为正三角形

∴

又三棱锥的高为

∴

考查方向

多面体的体积

解题思路

确定三棱锥的高为，求得底面的面积，利用棱锥体积公式求得三棱锥的体积；

易错点

三棱锥的高找错了

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

，

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为．

考查方向

异面直线所成的角．

解题思路

利用平行，找到直线与所成的角为（或其补角）

易错点

在圆柱体内找直线与所成角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

正确答案

2

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.（本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧

(1) 求三棱锥的体积

(2) 求异面直线与所成角的大小

正确答案

(1) 连，则

∴为正三角形

∴

(2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

,

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为

知识点

组合几何体的面积、体积问题异面直线及其所成的角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.

（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）

正确答案

②③④

解析

试题分析：对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为，所以过直线n作平面与平面相交的直线c，则n//c，因为，所以，所以，故②正确；对于③，有两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成交的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④。

考查方向

本题主要考察空间中的线面、面面位置关系等知识点．

解题思路

根据相关定理直接进行判断。

易错点

忽略在空间中考虑线、面关系导致出错。

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

19.证明：平面AEC⊥平面AFC；

20.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

解析

见答案

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；

易错点

本题在证明过程中推理不严密易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

易错点

本题在写垂直的过程不能写全条件。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.

21.证明：；

22.求二面角的正切值；

23.求直线与直线所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）见解析；

解析

（1）证明：∵ 且点为的中点，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又平面，

∴ ；

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

（2）∵ 是矩形，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又、平面，

∴ ，，

∴ 即为二面角的平面角，

在中，，，，

∴ 即二面角的正切值为；

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

。

解析

（3）如下图所示，连接，

∵ ，即，

∴ ，

∴ 为直线与直线所成角或其补角，

在中，，，

由余弦定理可得，

∴ 直线与直线所成角的余弦值为．

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13.如图，三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．

正确答案

；

解析

试题分析：利用中位线作出异面直线所成的角，然后在三角形中利用余弦定理求出余弦值即可。

连结ND，取ND 的中点为E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，
∵，∴，
又∵EN⊥NC，∴，

∴．
故答案为：．

考查方向

本题考查了异面直线所成的角，余弦定理的应用，属于基础题．

解题思路

连结ND，取ND 的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角

就是∠EMC通过解三角形，求解即可．

易错点

异面直线所成的角为锐角或直角.

知识点

异面直线及其所成的角

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