对数与对数函数
共360题

对数与对数函数
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题型：填空题

填空题 · 14 分

设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。

(I)求f(x)的单调区间；

(II)若f(x)存在极点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；

(III)设a＞0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.

正确答案

（Ⅰ）解：由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在区间上的取值范围为，因此

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

知识点

换底公式的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

16．已知，若函数在R上是减函数，则实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

换底公式的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知向量函数的两条相邻对称轴间的距离为

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，若，求的值．

正确答案

（1）

由得

单调递增区间是

（2）

故

所以

解析

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知识点

换底公式的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B为直线上的动点，点C满足，点M满足.

（1）试求动点M的轨迹E的方程；

（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在轴上，圆内切于，求的面积的最小值。

正确答案

（1）设，

则

由

得，

所以动点M的轨迹E的方程为；

（2）设，

且，，

即，

由相切得，注意到，

化简得，

同理得，

所以是方程的两根，

所以，

有，

当时的面积的最小值为8.

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换底公式的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．若为方程的两个实数解，则（）

正确答案

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知识点

换底公式的应用

题型：简答题

简答题 · 15 分

22. 已知函数 (R)．

（1）当时，求函数的极值；

（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；

（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。

正确答案

解：（1）当时，，

∴. 令=0, 得 .

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增

问题转化为方程在区间内有解

∴ 或

解得或综上得

（3） ∵ = ，∴△= = .

① 若a≥1，则△≤0， ∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .

∵f（0），,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

当变化时，的取值情况如下表：

∵,

∴.∴

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换底公式的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

16．函数图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（）．

正确答案

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知识点

换底公式的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

5．如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为________

正确答案

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知识点

换底公式的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，若，则y=，y=在同一坐标系内的大致图象是（）

正确答案

解析

略。

知识点

对数函数的定义

题型：单选题

单选题 · 5 分

设的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

正确答案

解析

略

知识点

对数函数的定义

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