热门试卷

解法一：取中点，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，……………2分

则，，，，

，，………………5分

且平面；………………7分

（2）设，由一可知平面的一个法向量是

设平面的一个法向量是

令则   ………………10分

设两个法向量的夹角为，二面角的大小为

   …………………12分

负舍  ，……………………14分

解法二：（1）因为底面是边长为的菱形，所以        …………2分

又平面，平面，所以       …………4分

，平面………………7分

（2）因为点在线段上，平面

所以平面  ……………………9分

过做，垂足为，连接，

因为平面，所以

 ，

就是所求二面角的平面角……………12分

因为，可以求出AC=4，所以等腰直角三角形PAC的高为

在中，，得到答案    ………14分

（1）在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，

易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC，（2分）

在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG。

又DE//BC，所以BC⊥平面AFG，（4分）

（2）因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，

所以FA，FD，FG两两垂直。

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

所以，0)，（6分）

设平面ABE的一个法向量为。

则，即，

取，则，，则，（8分）

显然为平面ADE的一个法向量，

所以，（10分）

又由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为，（12分）

（1）

……………………3分

所以，…………………4分

递减区间是；………………………6分

（2）由得，  ………………10分

当时，，即，负舍；……………………12分

当时，，即，负舍。；…………………14分

（1）

如图,连结,依题意可知,,

在中,由余弦定理得

在中,由余弦定理得

由,解得

从而,即

（2）由（1）可知,

所以

（1）连接，过点作交于点，因为，所以，从而，…………2分

解法1：延长至，使得，则且，，，.5分

在△中，.……8分

所以，异面直线与所成角的大小为.………9分

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系.

则.

所以，，………………5分

设异面直线与所成角的大小为，

则.………………8分

所以异面直线与所成角的大小为.………………9分

（2）底面梯形面积为.四棱锥的体积为，……………3分

所以，四棱锥的体积为.………………………6分

（1）取中点,可证明平面所以

。所以           ……6分

（2）过做,垂足为，过做垂足为。

连接则为所求。

余弦值为 ……6分

（1）（法1）设，因为点在圆上，

且点关于圆心的对称点为，

所以，              

且圆的直径为，

由题意，动圆与轴相切，

所以，两边平方整理得：，

所以曲线的方程为。            

（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，

连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径。

过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）。

在直角梯形中，，

即动点到定点的距离比到轴的距离大1。 

又动点位于轴的上方（包括轴上），

所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等。

故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线。

所以曲线的方程为。             …

（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2。

设直线的斜率为（），则直线的斜率为。 

因为是曲线：上的点，

所以，直线的方程为。

由，

解之得或，

所以点的坐标为，

以替换，得点的坐标为。     

所以直线的斜率为定值，

（法2）因为是曲线：上的点，所以，。

又点、在曲线：上，所以可设，，   

而直线，的倾斜角互补，

所以它们的斜率互为相反数，即，整理得。   

所以直线的斜率为定值。    

②（法1）由①可知，，，

，所以直线的方程为，

整理得。                    

设点在曲线段上，因为、两点的横坐标分别为和，

所以点的横坐标在和之间，即，

所以，从而。

点到直线的距离

。 

当时，。

注意到，所以点在曲线段上。

所以，点的坐标是。 

（法2）由①可知，，结合图6－3可知，

若点在曲线段上，且点到直线的距离最大，

则曲线在点处的切线。   

设：，由方程组，

消去，得。

令△，整理，得，

代入方程组，解得，。

所以，点的坐标是。 

（法3）因为抛物线：关于轴对称，

由图6－4可知，当直线的倾斜角大于且趋近于时，直线的倾斜角小于且趋近于，即当直线的斜率大于0且趋近于0时，直线的斜率小于0且趋近于0。

从而、两点趋近于点关于轴的对称点。 

由抛物线的方程和①的结论，

得，。

所以抛物线以点为切点的切线。

所以曲线段上到直线的距离最大的点就是点，

即点、点重合。

所以，点的坐标是。