立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形, 则该几何体的侧面积为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由三视图可知该几何体的底面形状为中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

正确答案

108+3

解析

由三视图可知，原几何体是由两个相同的四棱柱和一个圆柱组成，其体积为6×6×1.5×2+×3=108+3.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知向量,函数。

（1）求函数的最小正周期;

（2）已知分别为内角A，B，C的对边, 其中Ａ为锐角,,且,求Ａ，和的面积Ｓ。

正确答案

见解析

解析

（1）

（2），则，

所以，即

则从而

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

∵ D是△ABC的边AB的中点

∴

∴ ==

∵ D、F分别是△ABC的边AB、CA的中点

∴

∵ E是△ABC的边BC的中点

∴

故选D

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为

正确答案

解析

由题意可知蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为的等边三角形，所以球心到面的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为

知识点

空间几何体的结构特征简单空间图形的三视图

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉球的表面积，再加上个圆面积，故，又球半径，，故选.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为

A

B

C8

D4

正确答案

D

解析

由三视图知：原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知得：，所以，则，

所以，故选：C

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

△中，点在线段上，点在线段上，且满足,若，则的值为

正确答案

解析

,，

。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，三棱锥中，，为的中点，，为上一点，为上一点，且。

（1）求证：∥平面；

（2）求证：⊥平面；

（3）求与平面所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）

证明：

又平面，平面 ∥平面

（2）由等边，等边，为的中点得：，

平面又平面

在中，，，

，

又

在中，由余弦定理得：

又⊥平面

（3）建立如图的空间直角坐标系，

则

设平面BCD的法向量为，

则，

取

设与平面所成角为，

则

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为__________.

正确答案

2π

解析

略

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设是单位向量，且的最大值为________.

正确答案

1+

解析

略

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6。

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P﹣BD﹣D的大小。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD。∴BD⊥PA。

又，。∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC。

又PA∩AC=A。∴BD⊥平面PAC。

（2）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF。

∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角。

又∠DAC=90°﹣∠BAC=30°，

∴DE=ADsinDAC=1，，

又，∴，PC=8。

由Rt△EFC∽Rt△PAC得。

在Rt△EFD中，，∴。

∴二面角A﹣PC﹣D的大小为。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）中，，，点在上。

（1）若是中点，求证：∥平面；

（2）当时，求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：连结BC1，交B1C于E，DE。

∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

∴侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

∴ DE// AC1。

因为 ∵DE平面B1CD， AC1平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD。

（2）∵ AC⊥BC，

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)。

设D (a, b, 0)（，），

∵点D在线段AB上，且，即。

∴。

所以，，。

平面BCD的法向量为。

设平面B1 CD的法向量为，

由，，得，

所以，。

设二面角的大小为，。

所以二面角的余弦值为。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0），现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′，当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为　　

正确答案

解析

由题意知AB的方程为：x+y=8，

设M（x，y），则M′（x2，y2），从而有x2+y2=8，

易知 A（2，6）→A′（），B（6，2）→B′（），

不难得出∠A′OX=，∠B′OX=，则∠A′OB′=，点M的对应点M′所经过的路线长度为；故答案为。

知识点

空间几何体的结构特征

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正确答案

解析

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