热门试卷

（1）证明：因为平面平面，平面平面，

所以平面

又平面，所以

又，所以PD⊥平面

而平面PCD，故平面PCD⊥平面

（2）如图，建立空间直角坐标系…

设，则，

，， ，

，则得

，

设平面PEC的一个法向量，

由得

令，则

，，设平面PEC的一个法向量，

由得，令，则

设二面角的大小为，则

故二面角的余弦值为

（1）

（2）依题意知圆心到直线的距离为3

当直线斜率不存在时，直线的方程为，

显然，符合题意，此时

当直线存在斜率时，设直线的方程为

则圆心到直线AB的距离

依题意有，无解

故

解析：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC。

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD。

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC。

∴BD⊥PC。

（2）取DC中点G,连接FG,则EG∥平面PAD,

又直线EF∥平面PAD,

所以平面EFG∥平面PAD,

FG∥平面AD

∵M为AC中点, DM⊥AC，

∴AD=CD。

∵∠ADC=120°, AB=4,

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,AD=CD=,

∠DGF=60°,DG, 得AF=1

解析：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC，（2分）

（2）

取BC的中点N，连MN，∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC。

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH。

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角。

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°。

在△ACN中，。

在Rt△AMN中，。

在Rt△NCH中，。

在Rt△MNH中，∵，∴。

故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为，（8分）

（3）作NE⊥MH于E，∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为。

∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为，（12分）

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC，（2分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示。

设P（0，0，z），则。。

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴。

设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由

得得∴。

平面ABC的一个法向量为。。

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为，（8分）

（3）点B到平面MAC的距离，（12分）

（1）证明：连结OB1，OM，∵O1B1∥AB，且O1B1=，

∴四边形AOB1O1为平行四边形，∴OB1∥AO1，

由⇒平面OMB1∥平面O1AC，

又∵B1A⊂平面OMB1，

∴B1M∥平面O1AC。

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，

垂足为E，连结CE，

∵BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

∴BB1⊥CD，∵AB∩BB1=B，

∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AO1，

∴CE⊥AO1，∴∠CED为二面角C﹣AO1﹣B的平面角，

令AB=2a，在Rt△CDE中，CD=，DE=a，

∴cos。