热门试卷

（1）证明：设，根据题意：

   ∵，同号，∴

设，同理可得

∴，

由

∵在轴的两侧   ∴

∴  ∴

∴

（2）解∵直线的斜率

∴直线的方程为

∵   ∴直线的方程为

∴直线过定点

解：（1）,

令得或（舍去）

当时，，单调递增；

当时，，单调递减。

为函数在区间上的极大值

（2）由，得，(*)

∵，∴，只有当时，，

此时取，则，其他情况下不等式(*)都成立。

故的取值范围是

（3）原命题等价于在区间上恰有两个不同的实根

∵

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

结合图象可知， …

（1）∵∥∥

∴∥平面，∥平面   

∴平面∥平面

∴∥平面

（2）方法一：

由（1）可知平面∥平面

∴二面角与二面角互补

过作于，连结

∵平面   ∴  ∴平面  ∴

∵，，

∴  ∵ ∴

又∵，   ∴

∵   ∴

过作交延长线于点，连结

∵平面   ∴

∴平面  ∴

∴为二面角的平面角

∵   ∴

∴二面角的大小为

方法二：

如图，过作∥，过作平面

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系

∵在平面上的射影在直线上，设（）

∵，，

∴

∴

∴

∴

设平面的法向量为  又有

∴

又∵平面的法向量为

设二面角的大小为，显然为钝角

∴   ∴

（1）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE。

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB

PE=1，CE=，PC=2，即。

由勾股定理可得，PE⊥CE，

又因为AB//平面ABCD，CE//平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD。

而PE垂直平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD，

（2）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF。

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH。

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC。

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF。

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH。

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角，                        

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD。

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD，又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF。

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF。

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF，                        

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以。

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是，        

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），

=（,1,0），=（,0,-1），

=（0,2,0），        …

设是平面PAC的一个法向量，

则，即。

取，可得，

，  

设是平面PCD的一个法向量，则，即。

取，可得，，            

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是。

（1）由，得，。

又面，所以以分别为轴建立坐标系如图。

则

设，则 。

设，得：

。

解得：，，，

所以。                    

所以,，。

设面的法向量为，则，取。

因为，且面，所以平面

（2）设面法向量为， 因为，，

所以，取 。                                  

由，得。

，，所以。                            

在中，，易得，

在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图空间直角坐标系。

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

（1）由于，设AD与BC所成角为，则

，即异面直线AD与BC所成角为

（2）设平面ABC的法向量为，而，

由得：，取 。

再设平面DAC的法向量为，而，

由得：，取，

所以，所以二面角B-AC-D的大小是

（3）……由于均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AD中点，

又，所以球半径，得 。

（1）由题意：2a=4，所以a=2，

∵橢圆：+=1过点（，），

∴

∴b2=1

∴所求椭圆方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

∵=+，

∴M（，）

∴

∴

∵点N为线段AB的中点

∴N（，）

∴=

∴线段AB的中点N在椭圆上

∵椭圆的两焦点为C（﹣，0），D（，0），

∴|NC|+|ND|=2。

（1）设，由已知得，

则直线的方程为，直线的方程为，

消去即得的轨迹的方程为.

（2）方法一：由已知得，又，则，

设直线代入得，

设，

则.

由得，

即，

则， 

又到直线的距离为，故.

经检验当直线的斜率不存在时也满足. 

方法二：设，则，且可得直线的方程为

代入得，

由得，即，

则，故.

解：（1）由题设知，圆的圆心坐标是，半径是，

故圆与轴交与两点，.

所以，在椭圆中或，又，

所以，或(舍去，因为) .-

于是，椭圆的方程为

（2）因为、

联立方程 ，

所以，.

因为直线的方程为，令，

则

，所以点.

 解法一：

.

当且仅当即时等号成立.

故的面积存在最大值.

(或: .

令，

则.

当且仅当时等号成立，此时.

故的面积存在最大值为.-

解法二：

.

点到直线的距离是. 

所以，

.-

令，

则.

当且仅当时等号成立，此时.

故的面积存在最大值为.-

（1）证明：∵底面为正方形，

∴，又，

∴平面，

∴. ………………3分

同理，………………5分

∴平面。………………6分

（2）解：建立如图的空间直角坐标系，

则.

∵为中点，

∴

同理，

设为平面的一个法向量，

则，。

又，

令则.

得，…………10分

又

∴点到平面的距离.…………12分

（1）∵       ∴

又∵⊥底面       ∴

又∵           ∴平面

而平面

∴平面平面    

（2）由（1）所证，平面

所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

而，所以                   

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。

则，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则

即  可解得

∴与平面所成角的正弦值为