热门试卷

（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作

AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.

又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC………4分

（2）由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0),  A(0,3,0),  C(3，0，0) ,

有由，满足，

所以E(1，2，0), F(0，1，1)

   所以,

所以点的距离。………8分

（3）   。………12分

（1）线段的中点就是满足条件的点

证明如下：

取的中点连结，则

，，

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴。

∴四边形为矩形，

∴。

又∵，

∴且，四边形是平行四边形。

∴，而平面，平面，∴平面，

（2）

（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，

是平面与平面所成二面角的棱，

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角，

设，则，，

∴，

∴， 

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图），设，由已知，得，，。

∴，，

设平面的法向量为，

则且，

∴∴

解之得

取，得平面的一个法向量为.         

又∵平面的一个法向量为

（1）取DE中点G，连接FG,AG,CG.

CFDG,所以FG∥CD.

CGAB, ,所以AG∥BC.  所以 平面AFG∥平面CBD

所以 AF∥平面CBD……5分

另法：取BD中点M，设AFJ交BE于N,连CM，MN.证明CM平行FN.

（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

所以的中点坐标为因为，所以

易知是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为

由

令则，，

所以面与面所成角的余弦值为……12分

（1）由题意，，，

由两式相减，得，

即，，         

又，∴，

∴数列是以首项，公比为的等比数列。

（2）由（1）得.        

又由，得，

整理得，即，         

∵，∴，这与相矛盾，

故不存在这样的，使不等式成立。              

（1）因为，∥，所以平面。

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是，，，，

， 。

所以，

因为平面的一个法向量为，

所以，

又因为平面，所以平面。

（2）由（1）知，，，。

设是平面的一个法向量，由 得

即，取，则。

设是平面的一个法向量，由 得

即，取，，

则。                              

设二面角的大小为，则。

故二面角的大小的余弦是。

（1）∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G。连结BG，则BGAD，又，∴EGAD

∴，∴即。              

（2）以C点为坐标原点，分别以射线CA为x轴、CB为y轴、CC1为z轴建立空间直角坐标系。

设点的坐标为A（,0,0），则点B（0,,0），A1（，0，2），D（0，0，1）。

由（1）知，又，.

由。

∴，，，.

，，

设平面求ABD的一 个法向量，

∴，

取……（10分）

故,

所以A1B与平面ABD所成角的为 。                           

（1）由余弦定理得：

所以B=…………4分

（2）设AE=x,CD=y则

∵

∴

∴

∴   ∴

∴当且仅当时，等号成立。

所以AE·CD的最大值为9………12分

解：（1）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

∴两两垂直. 以分别为轴建立空间直角坐标系如图。

则，   ∴，

， ∴,.

又与相交于，  ∴⊥平面.   

（2）∵⊥平面, ∴是平面的一个法向量,  设为平面的一个法向量,则,

所以可取，则。

∴所求平面与平面的余弦值为， 

解析：（1）证明：连接CM交AE于点Q,则CQ:QM=2:1

在中易求得CF：FN=2：1,，即CQ:QM=CF：FN

所以 则

（2）在，

又E是CD的中点，得AF⊥CD。   折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，

故CD⊥平面AEF，

又CD平面CDB，

故平面AEF⊥平面CBD。

过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，

所以AH⊥平面CBD。在面BCD中过H作延长线于点G，连接AG，则即为二面角的平面角

在直角三角形AHE中，，AE=

则，又易得

则  所以              

（1）特征多项式f(λ)＝\o(\s\up11(λ－2－1＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，

由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.

将λ1＝1代入得x＋y＝0，令x＝1，得y＝－1，

则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为\o(\s\up11(1－1.

当λ2＝3时，得x－y＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为\o(\s\up11(11.

(2)因为,即,  解得