函数单调性的判断与证明
共139题

· 函数单调性的判断与证明

函数单调性的判断与证明
共139题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题 · 5 分

12.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）

正确答案

解析

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

考查方向

本题主要考查了函数图象的对称性等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据已知条件判断出函数的对称中心，再利用对称性即可求出的值。

易错点

不能由判断出函数的对称性导致出错。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

10．设为，的反函数，则的最大值为．

正确答案

解析

由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为

考查方向

本题主要考查了反函数与原函数之间性质的区别于联系

解题思路

反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.

易错点

求f(x)

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

(I)讨论函数的单调性，并证明当 >0时，

(II)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.

正确答案

（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（II）

由（I）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

知识点

函数的值域函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

根据条件知P, Q的横坐标互为相反数，不妨设P(－t, t3＋t2), B(t, f(t)(t＞0)

若t＜e，则f(t)＝－t3＋t2,

由∠POQ是直角得＝0，即－t2＋( t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，

即t4－t2＋1＝0.此时无解；

若t≥1，则f(t)＝alnx,.由于PQ的中点在y轴上，且∠POQ是直角，

所以Q点不可能在x轴上，即t≠1.

同理＝0，即－t2＋( t3＋t2)·alnx＝0，

整理后得实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考查了分类讨论的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、值域、奇偶性、向量等知识点交汇命题。

解题思路

利用垂直的条件即数量积为0是本题破题的关键，同时对变量进行分类讨论，转化为求函数的值域问题。

易错点

1、是以为直角顶点的直角三角形这个条件如何准确地转化。

2、分类讨论的标准，如何不重复、不遗漏。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 函数单调性的性质

百度题库 > 高考 > 理科数学 > 函数单调性的判断与证明

扫码查看完整答案与解析