- 函数单调性的判断与证明
- 共139题
如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 ,那么正确的选项是()
正确答案
解析
略
知识点
已知函数的定义域是D,若对于任意
,当
时,都有
,则称函数
在D上为非减函数.设函数
在
上为非减函数,且满足以下三个
条件:①; ②
; ③
.
则(),
().
正确答案
解析
略
知识点
若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:
①P、Q都在函数的图像上;②P、Q关于原点对称.则称点对[P, Q]是函数
的一对“友好点对”(注:点对[P, Q]与[Q , P]看作同一对“友好点对”).已知函数
,则此函数的“友好点对”有( )对
正确答案
解析
略
知识点
已知e是自然对数的底数,函数e
的零点为
,函数
的零点为,则下列不等式中成立的是
正确答案
解析
略
知识点
已知二次函数,关于
的不等式
的解集为,其中
为非零常数.设
.
(1)求的值;
(2)R
如何取值时,函数
存在极值点,并求出极值点;
(3)若,且
,求证:
N
.
正确答案
见解析。
解析
(1)解:∵关于的不等式
的解集为
,
即不等式的解集为
,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为
.
∴.
方程(*)的判别式
. ①当
时,
,方程(*)的两个实根为
则
时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增。
∴函数有极小值点
.
②当时,由
,得
或
,
若,则
故时,
,
∴函数在
上单调递增。
∴函数没有极值点.
若时,
则时,
;
时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增。
∴函数有极小值点
,有极大值点
.综上所述, 当
时,
取任意实数, 函数
有极小值点
;
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
.
(其中,
)
解法2:由(1)得.
∴的定义域为
.
∴.
若函数存在极值点等价于函数
有两个不等的零点,且
至少有一个零点在上.
令,
得, (*)
则,(**)
方程(*)的两个实根为,
.
设,
①若,则
,得
,此时,
取任意实数, (**)成立.
则时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递减,在
上单调递增。
∴函数有极小值点
.
②若,则
得
又由(**)解得或
,
故.
则时,
;
时,
;
时,
.
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增。
∴函数有极小值点
,有极大值点
.
综上所述, 当时,
取任何实数, 函数
有极小值点
;
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
.
(其中,
)
(2)证法1:∵, ∴
.
∴
.
令,
则
.
∵,
∴ ……11分
…12分
.
∴,即
.
证法2:下面用数学归纳法证明不等式.
① 当时,左边
,右边
,不等式成立;
② 假设当N
时,不等式成立,即
,
则
.
也就是说,当时,不等式也成立。
由①②可得,对N
,
都成立。
知识点
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