等比数列
共414题

等比数列
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知数列，，，，（）。

（1）求，；

（2）是否存在正整数，使得对任意的，有；

（3）设，问是否为有理数，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）；

。

（2）假设存在正整数，使得对任意的，有。

则存在无数个正整数，使得对任意的，有。

设为其中最小的正整数。

若为奇数，设（），

则。

与已知矛盾.

若为偶数，设（），

则，

而

从而。

而，与为其中最小的正整数矛盾。

综上，不存在正整数，使得对任意的，有。

（3）若为有理数，即为无限循环小数，

则存在正整数，，对任意的，且，有。

与（2）同理，设为其中最小的正整数。

若为奇数，设（），

当时，有。

与已知矛盾。

若为偶数，设（），

当时，有，

而

从而。

而，与为其中最小的正整数矛盾。

故不是有理数。

知识点

等比数列的基本运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为 C

A-3

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的基本运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列满足：，且对任意和均为等差数列。

（1）求的值；

（2）证明：和均成等比数列；

（3）是否存在唯一的正整数，使得恒成立？证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

知识点

等比数列的基本运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为。若对，有，则的取值范围是（）

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的基本运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等比数列的前n项和为，则=

B-2

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

在等比数列中，，则=（）

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的基本运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记，例如当时，，，；当时，，，，.则当时，（）；试写出（）。

正确答案

；

解析

略

知识点

等比数列的基本运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。

（1）求c的值；

（2）求{an}的通项公式；

（3）求最小的自然数n，使an≥2013。

正确答案

见解析。

解析

（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，

∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），

解得c=0或c=3。

当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3。

（ 2）当n≥2时，由a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…an﹣an﹣1=（n﹣1）c，

得。

又a1=3，c=3，∴。

当n=1时，上式也成立，

∴。

（3）由an≥2013得，即n2﹣n﹣1340≥0，

∵n∈N*，∴，

令n=37，得a37=2001＜2013，令n=38得a38=2112＞2013，

∴使an≥2013成立的最小自然数n=38。

知识点

等比数列的基本运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

设为等比数列的前项和，，则

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的基本运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

设正项等比数列的前项和为, 已知，。

（1）求首项和公比的值；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）,

∴，

解得。

（2）由,得：,

∴

∴。

知识点

等比数列的基本运算

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