热门试卷

（1）当时，。

因为，，即，，

所以或或。

故此时满足条件的数列{an}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1。

（2）令bi＝(1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：

，且bi∈ (1≤i≤7)，

反之，由符合上述条件的7项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的8项数列{an}。

记符合条件的数列{bn}的个数为N。

显然，bi (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1。

当k给定时，{bn}的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，

故。

因此，符合条件的数列{an}的个数为393。

（1）n = 1时，由得p = 0或2，

若p = 0时，，

当时，，解得或，

而，所以p = 0不符合题意，故p = 2；

（2）当p = 2时， ①，则②，

②①并化简得 ③，则 ④，

④③得（），又易得，

所以数列{an}是等比数列，且

（3）充分性：若x =1，y = 2，由知，，依次为，，，

满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；

必要性：假设，，成等差数列，其中x、y均为整数，又，

所以，

化简得

显然，设，

因为x、y均为整数，所以当时，或，

故当，且当，且时上式成立，即证。 

（1）又

得 ，

∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列                                         （3分）

                                                               （6分）

（2），当时== 当 也符合

∴

∴                                                             （8分）

        ①

      +   ②                      （10分）

①       -② 得

∴                                                       （12分）

解析:

（1）由,得:…2分

（2）由（1）可归纳猜想:……………………3分，

现用数学归纳法证明：

①当n=1时，显然成立；

②假设n=k(k∈N*)时成立，即，则：

n=k+1时：；

所以，n=k+1时，猜想也成立。

故：由①②可知，对任意n∈N*,猜想均成立。……………………………………8分;

（3）证明:设f(x)=x-sinx ,则f`(x)=1-cosx≥0,

∴f(x)=x-sinx在上是增函数. ∴f(x)≥f(0)=0,即sinx≤x .

又∵,∴,

∴…………14分。

（1）由an=（3n+Sn）可得Sn=2an﹣3n，故an+1=Sn+1﹣Sn=2an+3

由待定系数法得an+1+3=2（an+3）又a1+3=6≠0

∴数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列。

∴an+3=6×2n﹣1，

∴an=3（2n﹣1），

（2）由（1）可得bn=an=n2n﹣n，

∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n﹣（1+2+3+…+n）   ①

∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1﹣2（1+2+3+…+n）   ②

①﹣②得，﹣Bn=2+（22+23+…+2n）+

化简可得Bn=2+，

（3）假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为：am、an、ap、aq（m＜n＜p＜q）

则3（2m﹣1）+3（2q﹣1）=3（2n﹣1）+3（2p﹣1）∴2m+2q=2n+2p。

上式两边同除以2m，则1+2q﹣m=2n﹣m+2p﹣m

∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾。

∴数列{an}不存在构成等差数列的四项。

解析：（1）由（1分）

由（2分）

（4分）

（2）（i）

 （8分）

（ii）（10分）

①                  ②

①  - ②得

  适合        综合得  （12分）