函数的基本性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数

（1）求f(x)的值；

（2）设函数，若使g(x)≤x+m≤f(x)在（0，+∞）上恒成立的实数m有且仅有一个，求实数m和t的值；

（3）设a>0,试讨论方程的解的个数，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）

令f’（x)=0得x∴当x变化时f(x),f’(x)的变化情况如下表：

由上表知当时，f(x)取得极大值，当x=1时，f(X)取得极小值0；

（2）由g(x)≤x+m≤f(x)在（0，+∞）上恒成立得

由得m=,又由得1+t-m=0∴t=.

∵当x→0时，∴由图象可得：

当0<a<e时，，此时原方程无解；

当a=e时，=0，此时原方程有唯一解；

当a>e时，<0，此时原方程,有两解。

知识点

函数单调性的性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

设为锐角，若，则的值为

正确答案

解析

∵为锐角，且，∴[

∴

∵

∴，

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

复数在复平面内对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

解：可化为，所以在第三象限. 故选C.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

（1）求函数的定义域.

（2）若是两个模长为2的向量的夹角,且不等式对于定义域内的任意实数恒成立,求的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）令,得,

由此可得所求函数的定义域为.

（2）当时,而

取等条件是,故有最大值,

原不等式等价于

,

又

当时有最大值而当时有最小值2,故的值域是.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润（单位：元）与其无故障使用时间（单位：年）满足：

。

设每台该种电视机的无故障使用时间、、三种情况发生的概率分别为、、，已知，。

（1）求、、的值；

（2）记表示销售两台这种电视机的销售利润总和，求的分布列和数学期望。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，由已知，，

解得，；

（2）X的取值有0，100，200，300，400，

，

所以的分布列为：

数学期望。

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）。

（1）求直线的斜率及其与坐标轴构成的直角三角形的面积；

（2）试判断直线与曲线是否有公共点，若有公共点，则求出公共点的坐标；若无公共点，请说明将直线沿轴方向（向上或向下）平移多少个单位，才能使其与曲线有公共点。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）由直线的参数方程得，

所以直线的斜率为2

当时，得，得，当时，得，得

所以直线与坐标轴构成的直角三角形的面积

（2）直线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为

，是以点P（2，）为圆心，半径为的圆

又点P到直线的距离为，所以直线与曲线无公共点，

设直线与曲线相切，可得或，所以将直线向下平移2个至12个单位时，直线与曲线有公共点

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示。

（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

正确答案

解析

（1）第三组的频率为0.065=0.3；

第四组的频率为0.045=0.2；

第四组的频率为0.025=0.1.

（2）(A)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

P(M)==

(B)

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点

（1）求的长；

（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。

正确答案

见解析

解析

解（1）直线的参数方程化为标准型（为参数）

代入曲线方程得

设对应的参数分别为，则，，

所以

（2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标，

所以点在直线，

中点对应参数为，

由参数几何意义，所以点到线段中点的距离

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选

知识点

函数单调性的性质

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