函数的基本性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知数列满足，则数列的前10项和为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为，所以数列分别为公差和公比为2 的等差和等比数列，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为4 的等比数列，所以数列的前10项和为。

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，已知点O是边长为1的等边的中心，则等于

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设E,F分别是AC,AB的中点，则BE=CF= ,OF=CF,OE=BE,∠EOF=120°,=，故选D.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足·（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由题意知，短半轴长为：， …………1分

∵，∴，

即，∴， ……… …………………2分

故椭圆的方程为：. ………………3分

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线：，……4分

设，，，

由得，.…………5分

，解得. …………6分

.

∵，∴，解得，. ………………7分

∵点在椭圆上，∴，

∴. ………………………8分

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴ …………………10分

∴，∵，∴，

∴或，

∴实数取值范围为. ………………12分

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;

（2）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且，（，）证明：对任意的正整数n, 当时，有.

正确答案

见解析。

解析

（1）函数的定义域是

因为所以有所以　………………1分

………………2分

1）当时，恒成立，所以函数在上单调递减; …3分

2）当时，若函数在其定义域内单调递增，

则有恒成立即

因为所以且时不恒为0. ………………4分

若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即

因为所以

综上，函数在定义域内单调时的取值范围是　………5分

（2）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即所以

所以　　　　　 ………………………………6分

令　说明：此处可有多种构造函数的方法，通

所以……７分　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当是偶数时，因为所以　　可参照答案所示　每种情况酌情赋2-3分

所以

所以即函数在单调递减

所以，即　　　　 ………………………9分

当是奇数时，令则

所以函数在单调递减，所以……10分

又因为时所以

所以即函数在单调递减 ………………11分

所以，即

综上，对任意的正整数n,当时，有.………………12分

知识点

函数单调性的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，

，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是。

正确答案

解析

识别条件：偶函数，偶函数说明啥？定义：f(-x)=f(x)恒成立！还有图像关于y轴对称！

这就是转化一念间对任意的，都有推导

周期函数为4 在图象如左半图。根据偶函数关于y轴对称，画出右部分，再根据周期函数画出部分。再画出图象如下图，交与x轴点。

设，则根据题意，如果有三个不同点。则需要

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

A

Bi>1005

C

Di>1006

正确答案

D

解析

，i=1007=1006+1，所以判断框内应填入的条件是i>1006，故选D.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。

（1）求证：BC⊥平面A1DC；

（2）若CD = 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

以D为原点，分别以为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D-xyz …………5分

说明：建系方法不唯一，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分

B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0） …………8分

…………9分

设平面A1BC的法向量为

令y=1,…10分

设BE与平面A1BC所成角为， …………12分

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列前n项和Tn。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）解：当时，

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴

（2），

所以

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为，其一个焦点在抛物线：（）的准线上，过点的直线交于两点，交于两点，分别过点作的切线，两切线交于点.

（1）求，的方程；

（2）求面积的最小值.

正确答案

见解析

解析

（1）∵，∴。∵，∴，

∴.·

∵的焦点为，∴，∴.

（2）设，，，，.

由（1）知，

∴过点的切线方程为，即.

过点的切线方程为.

又∵这两条直线均过点，

∴，，

∴点均在直线上.

∴直线的方程为，

又∵直线AB过点，∴.

∴直线AB的方程为.

解法一：联立方程组

得，。

点到直线的距离为.

∴△面积

设，∴ .

∴，

∴当时，（t）为单调递增函数.

∴.·

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）求证：必有两个极值点，一个是极大值点，—个是极小值点；

（2）设的极小值点为α，极大值点为β，，求a、b的值；

（3）在（2）的条件下，设，若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）

令

有两实根不妨记为

所以，有两个极值点，一个极大值点一个极小值点

（2），由韦达定理得

，所以

（3）

因为，所以

又因为当时，不等式恒成立

所以，原问题对一切恒成立

法一、设（）

设，，

当时，，所以，当时，，所以，

所以在上单调递增，又因为

所以当时，，当时，

所以在上递减，递增，所以

所以当时，，当时，

所以在上递减，递增，所以

所以

法二不妨设

，

当时，，，所以在上单调递增，所以

在上单调递增，，所以当时成立

当时得

当时所以在上单调递减，所以

在上单调递减，，与条件矛盾，同理时亦如此

综上

知识点

函数单调性的性质

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