函数的基本性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，直线的参数方程是（为参数），曲线C的极坐标方程为。

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线C相交于M，N两点，求M，N两点间的距离。

正确答案

（1）x2+y2-x-y=0（2）

解析

（1）将曲线C的极坐标方程化为=，所以2=，

即x2+y2=x+y，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2-x-y=0.

（2）直线l的参数方程中消去参数t可得普通方程4x-3t+1=0,而圆的普通方程为x2+y2-x-y=0，所以圆心C（，），半径r=，圆心C到直线l的距离d= ，

所以直线l被圆C截得的弦长为：=.即M、N两点间的距离为.

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数a的取值范围；

（3）记，当a=1时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）直线的斜率为1.

函数的定义域为，，

所以，解得

所以,

，得x>2; 得0<x<2

所以f(x)的单调递增区间是（2，+）,单调递减区间（0,2）

（2）==，，

得，得

所以f(x)的单调递增区间是（，+）,单调递减区间（0, ）

当x=时，取极小值，也就是最小值=

对都有成立，∴>2(

>2(,

∴, ,.实数a的取值范围(0, )

（3）当a=1时，=，(x>0)

=，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.

所以的单调递增区间是（1，+）,单调递减区间（0, 1）

x=1时取得极小值.

因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.

所以的取值范围是.

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是

Aa∥b

Ba⊥b

C{0,1,3}

Da+b=ab

正确答案

B

解析

解析一：由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a⊥b，故选B

解析二：根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数,，其中R。

（1）当时判断的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围。

正确答案

（1）f(x)增区间为减区间为

（2）

（3）

解析

（1）的定义域为，且 Z

令解得

所以f(x)增区间为减区间为。 …………2分

（2），的定义域为

…………………………………4分

因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以 …………6分

（3）当时，，

由得或

当时，；当时，。

所以在上， ……………8分

而“，，总有成立”等价于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值为

所以有 ……………10分

所以实数的取值范围是……………12分

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数，则下列关于函数y=f[f(x)]+1的零点个数的判断正确的是

A当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点

B当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点

C无论k为何值，均有2个零点

D无论k为何值，均有4个零点

正确答案

B

解析

结合图像分析：

当时，，

则或；

对于，存在两个零点；

对于，存在两个零点.

此时共计存在4个零点.

当时，；

则，此时仅有一个零点. 故选B.

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（1）求证：平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（3）求点E到平面ACD的距离。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：连结OC

在中，由已知可得

而，，，即

，

平面

（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

OM是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（3）设点E到平面ACD的距离为h.

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

给出下列说法：

①命题“若，则”的否命题是假命题；

②命题p：,使，则：；

③“”是“函数为偶函数”的充要条件；

④命题：“，使”，命题：“在△ABC中，若,则”.那么命题（）为真命题.

其中正确的个数是

A4

B3

C2

D1

正确答案

B

解析

命题“若，则”的否命题是“若，则”，是假命题，因此①正确；命题使，则完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数为偶函数”的充要条件是，即，因此③错误；命题，使”中，当时，，即，使”为假命题，而命题中，若，则”为真命题，可知命题（）为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性.

（3）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.

正确答案

（1）f(x)极小值=1，无极大值；

（2）当时，在和单调递减，在上单调递增；

当时，在和单调递减，在上单调递增

（3）

解析

（1）函数的定义域为. 当时，2分

当时，当时，无极大值. 4分

（2） 5分

当，即时，在定义域上是减函数；

当，即时，令得或

令得当，即时，令得或

令得综上，当时，在上是减函数；

当时，在和单调递减，在上单调递增；

当时，在和单调递减，在上单调递增；8分

（3）由（2）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值。

， 10分

而经整理得，由得，所以12分

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

在某次数学复习检测中，老师从做过的两套试卷中共挑选出6道试题，若这6道试题被随机地平均分给甲、乙、丙三位同学练习，且甲同学至少有一道试题来自试卷的概率是。

（1）求这6道试题来自试卷各有几道试题；

（2）若随机变量X表示甲同学的试题中来自的试题数，求X分布列和数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）设B试卷选m道试题，，，

即A试卷选2道试题，B试卷选4道试题，

（2）由题意知随机变量X取0， 1，2

=， = =

带入公式得

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，令.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数满足，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1）

由得又所以，所以的单增区间为.

（2）方法一：令

所以。

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式不能恒成立，

当时，。

令得，所以当时，当时，。

因此函数在是增函数，在是减函数，

故函数的最大值为

令因为

又因为在上是减函数，所以当时，。

所以整数的最小值为2。

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立。

问题等价于在上恒成立，令，只要，

因为令得。

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为，当时，当时，。

所以在上是增函数；在上是减函数。

所以，

因为

所以此时所以即整数的最小值为2

（3）当时，

由即

从而令则由得，

可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以

所以即成立.

知识点

函数单调性的性质

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