直线与圆相交的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若不等式≤k(x+2)- 的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=_______.

正确答案

解析

令y1=,y2=k(x+2)-,其中-3≤x≤3,在同一个坐标系中作出y1,y2的图象,如图所示.

由≤k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,

结合图象知b=3,a=1,即直线y2与圆y1的交点坐标为(1,2).

又因为点(-2,-)在直线y2上,

所以k==

知识点

直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围___________

正确答案

解析

设AC中点P（x,y）OP⊥AP，

AC=2PM,PM∈［,］AC∈

考查方向

本题主要考查了曲线的方程与几何图形的综合知识。

解题思路

本题考查运用曲线的方程与几何图形知识解决问题的能力，先设AC中点P（x,y）OP⊥AP，AP=

AC=2PM,PM∈［,］AC∈

易错点

本题必须运用几何性质找曲线的方程，否则无从下手。

知识点

两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线与圆相交的性质

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

正确答案

（1）2；

（2）证明略；

（3）证明略，面积为．

解析

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以，

故四边形为平行四边形．

易知，点在对角线上．

联立解得，

由得

，

所以，

于是，

因为，

所以四边形为正方形．

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为．

当直线的斜率不存在时，

设直线、的方程为，

因为在椭圆上，

所以，

由四边形为正方形，易知，，

直线、的方程为，

正方形的面积．

当直线的斜率存在时，

设直线、的方程分别为，

显然．

设，

联立得，

所以

代人，得

，

同理可得

，

因为为正方形，

所以

解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心

（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，

故

但，

由得

即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力，是难题．解析几何的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，涉及各类曲线的定义与方程、各类曲线的性质，与曲线的轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇命题．

解题思路

题（1），先找到两直线分单位圆成长度相等的四段弧的位置，求得所截得的弦长，然后利用原点到直线距离公式求得的值，从而求得的值；

题（2），先证四边形为平行四边形，再证对角线垂直且相等，从而证得四边形为正方形；

题（3），分类讨论说明椭圆的内接正方形有且只有一个．

易错点

找不到直线与圆或者椭圆的正确的位置关系，从而无法解题．

知识点

直线与圆相交的性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，则直线的方程为。

正确答案

4x+3y+21=0或x=-3

解析

1、由圆得其标准方程：，由弦长为8，所以圆心到直线的距离为3。

2、当直线的斜率不存在时，即方程x=-3 ，符合题设；当直线的斜率存在时，可设其方程为：，由点到直线的距离公式得：，即方程为：4x+3y+21=0。

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系求直线方程，这类题在近几年高考中频出，常考还有切线、与向量及函数综合等。

解题思路

本题考查直线与圆的位置关系，解题步骤如下：把圆由一般方程化为标准方程，再结合垂径定理计算出圆心到直线的距离。设出直线方程（点斜式）要注意分类讨论，即分斜率存在与不存在．

易错点

本题必须注意斜率是否存在，易漏解。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知圆, 直线，，若被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为（）

A

B1

C

D

正确答案

C

解析

被圆c截得的弦长为。所以被圆c截得的弦长为4．即为直径，恒过点（0，-1）且过圆心（2,0）所以k=．选C。

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系问题，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键会用直线与圆的位置关系计算弦长。

易错点

本题易在计算弦长时发生错误，导致题目错误。

知识点

直线与圆相交的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为

为参数．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲

线与的交点的极坐标为．

A

B

C

D

正确答案

B

考查方向

本题考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化及应用，意在考查考生的运算能力及转化能力，较易。

易错点

参数方程应用过程中的理解上易出错。

知识点

直线与圆相交的性质极坐标刻画点的位置

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知圆的方程为．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）

A10

B20

C30

D40

正确答案

B

解析

由垂径定理可知：当点（3，5）为弦中点时为最短弦，最长弦为直径，所以四边形ABCD的面积为，故选B。

考查方向

本题主要考查了点圆关系，当点在圆内时，过此点的最长弦与最短弦。在近几年的各省高考题出现的频率较高，直线与圆的位置关系一般在小题里考，也常与线性规划和均值不等式联系。

易错点

对这个模型不太熟悉，即垂径定理的应用。

知识点

直线与圆相交的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长．

正确答案

（1）；

（2）线段的长为．

解析

⑴解：设曲线上任意一点坐标为，

由题意，，

整理得，即，为所求。

⑵解：由题知，且两条直线均恒过点，

设曲线的圆心为，

则，线段的中点为，

则直线：,设直线：，

由，解得点，

由圆的几何性质，，而，，，解之得或，又两点均在轴下方，直线：.由

解得或不失一般性，

设，

由消得：，

⑴ 方程⑴的两根之积为1，

所以点的横坐标，

又因为点在直线上，解得，直线，

所以，

同理可得，，所以线段的长为。

考查方向

本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

1、利用已知求解。

2、联立直线与圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

圆的一般方程直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=( )

A2

B8

C4

D10

正确答案

C

知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.已知直线（为参数）和圆；

（1）时，证明直线与圆总相交；

（2）直线被圆截得弦长最短，求此弦长并求此时的值.

正确答案

（2），最短弦长为4.

解析

（1）直线总过定点，该点在圆内，所以直线与圆总相交.

（2），最短弦长为4.

考查方向

本题考查了直线系方程的应用以及直线与圆相交等知识。

解题思路

（1）运用直线系的方程，找到直线所过的定点。

（2）运用直线与圆相交的性质求出弦长。

易错点

第二问不知道弦与半径所在直线垂直的时候弦长最短，从而得不到正确答案。

知识点

点到直线的距离公式直线与圆相交的性质

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

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考查方向

易错点

知识点

正确答案

考查方向

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点