- 概率与统计
- 共1631题
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
19.若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
20.学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
21.在20题中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为
附：
正确答案
见解析
解析
设各组的频率为
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望
易错点
计算错误；读取数据时有遗漏
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望
易错点
计算错误；读取数据时有遗漏
正确答案
见解析
解析
依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望
易错点
计算错误；读取数据时有遗漏
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中； 如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.
20.重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率；
21.重复上述过程3次后，记袋中白球的个数为X，求X的数学期望.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
使用排列组合知识写出基本事件空间和4个白球个数（注意分类），并用古典概型的概率公式计算概率
易错点
本题易错在分类不清
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
分清X所有可能取值
根据情况依次求概率
写分布列以及期望
易错点
本题易错在分类不清
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
19.求
20.从盒子中随机抽取
正确答案
估计盒子中小球重量的平均值约为
解析
（Ⅰ）由题意，得
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），
而
考查方向
解题思路
根据频率分布直方图求出a的值，然后根据直方图估计盒子中小球重量的众数与平均值；
易错点
不会根据频率分布直方图估计平均数；
正确答案
（2）
（或者
解析
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
则
考查方向
解题思路
根据题意判断出
易错点
看不出二项分布导致运算很麻烦。
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
18.求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
19.某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
正确答案
A中学至少1名学生入选的概率为
解析
由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为
因此，A中学至少1名学生入选的概率为
考查方向
解题思路
.弄清题意后直接利用古典概率的概率公式先求对立事件的概率后即可得到答案；
易错点
对于题意理解有困难，不知道说的是什么导致没有思路。
正确答案
X的分布列为：
X的期望为
解析
根据题意，X的可能取值为1，2，3.
所以X的分布列为：
因此，X的期望为
考查方向
解题思路
直接根据超几何分布求解即可。
易错点
题中的概率错误的理解为是二项分布出错。
为了解人们对于国家新颁布的“生育
19.由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；
20.若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
正确答案
见解析
解析
解：(Ⅰ)2乘2列联表
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
考查方向
解题思路
本题的解题思路
1）根据题意填写表格，并计算
2）对年龄在[5，15）进行区分和分类，写出所有可能
3）写出
易错点
本题第一问易错于计算出错。第二问基本事件空间漏或者重复出错
正确答案
见解析
解析
解：
(Ⅱ)
所以
所以
考查方向
解题思路
本题的解题思路
1）根据题意填写表格，并计算
2）对年龄在[5，15）进行区分和分类，写出所有可能
3）写出
易错点
本题第一问易错于计算出错。第二问基本事件空间漏或者重复出错
17. 一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）.
（
（II）记
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
本题的解题思路
1）使用排列组合知识写出基本事件空间和含有编号为2的球个数，并用古典概型的概率公式计算概率
2）分清
3）根据情况依次求概率
4）写分布列以及期望
易错点
本题易错在第一问分类不清，第二问把超几何分布当成二项分布
知识点
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）
17.求三种粽子各取到1个的概率；
18.设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
正确答案
解析
试题分析：本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为
试题解析：（1）令A表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有
考查方向
解题思路
在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数
易错点
，对实际的含义要正确理解.
正确答案
分布列见解析，期望为
解析
试题分析：（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此
试题解析：（2）X的所有可能取值为0，1，2，且
综上知，X的分布列为
故
考查方向
解题思路
求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．
易错点
注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用
人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90．
18.求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
19.用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（Ⅰ）0.25；
解析
试题分析：本题属于概率的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按解题步骤求解，（2）要准确判定该变量服从二项分布.
（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为
则
由
所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25．
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题步骤如下：
1)利用频率分布直方图得到频率和频数；
2)判定该变量服从二项分布；
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
正确答案
（Ⅱ）分布列略，
解析
试题分析：本题属于概率的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按解题步骤求解，（2）要准确判定该变量服从二项分布.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：体重不低于55公斤的学生的概率为
X服从二项分布
所以随机变量X的分布列为：
则
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题步骤如下：
1)利用频率分布直方图得到频率和频数；
2)判定该变量服从二项分布；
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
某企业招聘工作人员，设置
17.求戊竞聘成功的概率；
18.求参加
19.记
正确答案
解析
设戊竞聘成功为A事件，则 …………1分
考查方向
解题思路
至少答对3题有两种情况
易错点
事件的性质划分不清，随机变量的取值及相应概率求不准.
正确答案
解析
设“参加
考查方向
解题思路
能出现参加A组测试通过的人数多余参加B组测试通过的人数有两种情况1>0或2>1;
易错点
事件的性质划分不清，随机变量的取值及相应概率求不准.
正确答案
解析
（Ⅲ）
…………12分
∴
解题思路
根据题意，先确定随机变量可能取值为0，1，2，3，4，然后根据题意，分别求出相应的概率，得到分布列，由分布列求数学期望.
易错点
事件的性质划分不清，随机变量的取值及相应概率求不准.
新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、
心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新
生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10
分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机制取了16名，以下表格记录了他们
的评分情况．
19.现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率：
20.以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿中任选3名， 记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．
正确答案
（1）
解析
（1）设
考查方向
解题思路
（1）先表示所求事件再计算其概率（2）写出X的所有可能取值并求出相应概率，列出分布列和计算数学期望。
易错点
所求事件的表示及概率的计算。
正确答案
（2）
解析
（2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为
则由题意知
所以
由表格得
考查方向
解题思路
（1）先表示所求事件再计算其概率（2）写出X的所有可能取值并求出相应概率，列出分布列和计算数学期望。
易错点
所求事件的表示及概率的计算。
2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为
18.求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；
19.试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望.
正确答案
（1）
解析
（Ⅰ）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为
考查方向
解题思路
直接根据题意求即可；
易错点
1.对于题中给出的信息处理出错；2.对于随机变量取值对应的概率出错。
正确答案
（（2）
解析
（Ⅱ）用
所以，
考查方向
解题思路
先设出随机变量后写出其取值，然后求其取各个值的概率列分布列带入期望公式即可。
易错点
1.对于题中给出的信息处理出错；2.对于随机变量取值对应的概率出错。
经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过
18.检查人员从这
19.若从这批数量很大的鱼中任选
正确答案
（1）
考查方向
解题思路
1、第一问属于古典概型，直接用排列组合求出个数；
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
正确答案
（2）
解析
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率
则
其分布列如下：
所以
考查方向
解题思路
1）第一问属于古典概型，直接用排列组合求出个数；
2）第二问中属于二项分布，各个事件之间是相互独立的，直接用公式求。
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生
19.求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
20.将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为
正确答案
解析
记第
由题意知
则
3人选择的项目所属类别互异的概率：
考查方向
解题思路
第一问属于古典概型，直接用排列组合求出个数；
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
正确答案
解析
任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：
由
其数学期望为
考查方向
解题思路
第二问中属于二项分布，各个事件之间是相互独立的，直接用公式求。
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
袋中装有4个黑球和3个白球，现在甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，每次一人只取1球，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
17.求甲第一次取球就取到白球的概率；
18.求随机变量ξ的概率分布和数学期望．
正确答案
解析
(Ⅰ)设“甲第一次取到白球”的事件为A，则P(A)＝P(ξ＝1)．
因为事件“ξ＝1”，
所以P(A)＝P(ξ＝1)＝
考查方向
解题思路
问直接利用公式求解即可，
易错点
不能够理解题意或题意理解错误；
正确答案
（2）
解析
(Ⅱ)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5
考查方向
解题思路
先写出随机变量的取值，然后求其取各个值的概率，进而可以得到分布列和期望。
易错点
随机变量取各个值的概率求错。
我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在
量指数频率分布直方图，如图.
19.求
20. 如果空气质量指数不超过
正确答案
（1）
解析
(1)由题意，得
解得
50个样本中空气质量指数的平均值为
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6
考查方向
解题思路
根据频率分布直方图求出a的值，然后根据平均数的求法求出2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6；
易错点
不会根据频率分布直方图估计平均数；
正确答案
（2）
解析
(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
考查方向
解题思路
根据题意判断出
易错点
看不出二项分布导致运算很麻烦。
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