概率与统计_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知椭圆，其长轴长为，直线与只有一个公共点，直线与只有一个公共点。

（1）求椭圆的方程；

（2）设是上(除外)的动点，连结交椭圆于另外一点，连结交椭圆于两点(在的下方)，直线分别交直线于点，若成等差数列，求点的坐标。

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题意得：，

椭圆方程为：

（2）解：设，则直线的方程为：

联立消去，得

解得

直线方程为，令，得，得

又直线的方程为

因为关于中心对称，可设，

直线、的方程分别为，

令，得

，，

又因为成等差数列，所以+=，

化简得：…….。① …

又C在直线上，所以…….。②

联立①、② 解得，

又在椭圆上，代入椭圆方程得，解得：

解法二：因为成等差数列，所以

所以，所以即

设，则直线的方程为：

联立消去，得解得

直线的方程为联立得，

由得解得

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响.

（1）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；

（2）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击5次后，被中止射击的概率。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设“甲射击5次，有两次未击中目标”

为事件A，则

（2）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于乙恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第一次及第二次至多次有一次未

击中目标，则

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球和个黑球，乙箱子里装有个白球和个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱)

（1）求在次游戏中，

①摸出个白球的概率；

②获奖的概率；

（2）求在次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.

正确答案

见解析

解析

解：（1）①解：设“在次游戏中摸出i个白球”为事件，则

②解：设“在1次游戏中获奖”为事件，则，又

，

且互斥，所以.

（2）解：由题意可知的所有可能取值为.

，，

所以的分布列是

所以的数学期望.-

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

小明早上从家里出发到学校上课，如图所示，有两条路线可走，且走哪条路线的可能性是相同的，图中A、B、C、D处都有红绿灯，小明在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且各个红绿灯处遇到红灯的事件是相互独立的，每次遇到红灯都需等候10秒。

（1）求小明没有遇到红灯的概率；

（2）记小明等候的总时间为，求的分布列并求数学期望。

正确答案

见解析

解析

解：（1）记“小明没有遇到红灯”为事件A，则

（2）由题可知：0，10，20，30

∴的分布列：

∴

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。

（1）求拿4次至少得2分的概率；

（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。

正确答案

见解析

解析

解（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。

，，

（2）的可能取值为，则

；；

；；；

分布列为

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知。

（1）求袋中白球的个数；

（2）求随机变量的分布列及其数学期望。

正确答案

见解析

解析

（1）设袋中有白球个，则，

即，解得。

（2）随机变量的分布列如下：

。

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别。

（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件为“取得红色的三个球”，事件为“取得颜色互不相同的三个球”，求和；

（2）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为，求的分布列与数学期望。

正确答案

见解析

解析

（1）

，。

（2）

的可能值为。

①考虑的情形，首先盒中必须取一个红球放入盒，相应概率为，此时盒中有2红2非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为，故。

②考虑的情形，首先盒中必须取一个非红球放入盒，相应概率为，此时盒中有1红3非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为，故。

③。

所以的分布列为

的数学期望。

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制（只打整数分），评分结果统计如下表：

（1）若随机抽取一名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率；

（2）从这50名参赛学生中任取1人，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生数为6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率为=；

（2）ξ的所有可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，则ξ的分布列为

∴Eξ=2×+3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×+10×=。

知识点

随机事件的关系

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏，开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片，规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束，设游戏结束时“出手”次数为，则。

正确答案

解析

，，

，

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：

根据上表信息解答以下问题：

（1）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之和，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；

（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望。

正确答案

见解析。

解析

(１) 函数过点，在区间上有且只有一个零点，

则必有即：，解得：

所以，………………3分

当时，，………………6分

(２) 从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，

则的可能取值分别是，………………7分

于是，

， ………………10分

从而的分布列：

的数学期望：………………12分

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为,且各人回答得正确与否相互之间没有影响。

（1）若用表示甲队的总得分,求随机变量分布列和数学期望；

（2）用表示事件“甲、乙两队总得分之和为”,用表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知,的可能取值为,则有

,,

,.

所以的分布列为

故的数学期望

（2）用表示事件“甲队得分”,用表示事件“乙队得分”.因,且由于与为互斥事件,故.

∴.

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；

（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响。

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，

因为×，所以＝1－×=，所以。

（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，

选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)。

由已知可得，X1～，X2～B，

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，

从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.

若，即，所以；

若，即，所以。

综上所述：当时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等。

知识点

随机事件的关系

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

该班主任据此推断男生喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关，这种推断犯错误的概率不超过____________

正确答案

0.050

解析

，

∴错误的概率不超过0.050。

知识点

随机事件的关系

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

（2）在该样品中, 随机抽取两件产品,设“取出的2件产品的综合指标之差的绝对值”为随机变量，求的分布列和数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：

其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6………………5分

（2）的所有可能取值为0、1、2、3……………6分

,,

,……………10分

的分布列为：

所以的数学期望为：………………12分

知识点

随机事件的关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数能被3整除的概率为____________

正确答案

解析

从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，共有（个），∵0+1+2+3+4+5=15，∴这个四位数能被3整除只能由数字：

1，2，4，5； 0，3，4，5；0，2，3，4；0，1，3，5；0,1,2,3组成，所以能被3整除的有：

∴这个数能被3整除的概率为.

知识点

随机事件的关系

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