- 概率与统计
- 共1631题
某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示.
19.分别求出的值;
20.从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
21.在20题的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
正确答案
见解析
解析
第1组人数, 所以
, 第2组人数
,所以
, 第3组人数
,所以
, 第4组人数
,所以
第5组人数
,所以
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得
易错点
计算错误;读取数据时有遗漏
正确答案
见解析
解析
第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取
人,
人,1人
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得
易错点
计算错误;读取数据时有遗漏
正确答案
见解析
解析
记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为
,第4组的记为
, 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是:
,
,
,
,
,
,
,
,
故所求概率为 。
考查方向
解题思路
图和表相互结合求得
易错点
计算错误;读取数据时有遗漏
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐3名男生,2名女生,B中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队
18.求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
19.某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X得分布列和数学期望.
正确答案
A中学至少1名学生入选的概率为.
解析
由题意,参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为.
因此,A中学至少1名学生入选的概率为.
考查方向
解题思路
.弄清题意后直接利用古典概率的概率公式先求对立事件的概率后即可得到答案;
易错点
对于题意理解有困难,不知道说的是什么导致没有思路。
正确答案
X的分布列为:
X的期望为.
解析
根据题意,X的可能取值为1,2,3.
,
,
,
所以X的分布列为:
因此,X的期望为.
考查方向
解题思路
直接根据超几何分布求解即可。
易错点
题中的概率错误的理解为是二项分布出错。
17. 一个袋中装有7个大小相同的球,其中红球有4个,编号分别为1,2,3,4;蓝球3个,编号为2,4,6,现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同).
(I)求取出的3个球中,含有编
号为2的球的概率;
(II)记为取到的球中红球的个数,求
的分布列和数学期望.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
本题的解题思路
1)使用排列组合知识写出基本事件空间和含有编号为2的球个数,并用古典概型的概率公式计算概率
2)分清所有可能取值
3)根据情况依次求概率
4)写分布列以及期望
易错点
本题易错在第一问分类不清,第二问把超几何分布当成二项分布
知识点
端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个。
(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)
17.求三种粽子各取到1个的概率;
18.设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望
正确答案
.
解析
试题分析:本题属于古典概型,从10个棕子中任取3个,基本事件的总数为,其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为
,根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率.
试题解析:(1)令A表示事件“三个粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有
;
考查方向
解题思路
在解古典概型概率题时,首先把所求样本空间中基本事件的总数,其次所求概率事件中含有多少个基本事件
,然后根据公式
求得概率.
易错点
,对实际的含义要正确理解.
正确答案
分布列见解析,期望为.
解析
试题分析:(2)由于10个棕子中有2个豆沙棕,因此的可能值分别为
,同样根据古典概型概率公式可得相应的概率,从而列出其分布列,并根据期望公式求得期望为
.
试题解析:(2)X的所有可能取值为0,1,2,且
综上知,X的分布列为
故.
考查方向
解题思路
求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方差的公式计算.
易错点
注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用
人的体重是人的身体素质的重要指标之一.某校抽取了高二的部分学生,测出他们的体重(公斤),体重在40公斤至65公斤之间,按体重进行如下分组:第1组[40,45),第2组[45,50),第3组[50,55),第4组[55,60),第5组[60,65],并制成如图所示的频率分布直方图,已知第1组与第3组的频率之比为1:3,第3组的频数为90.
18.求该校抽取的学生总数以及第2组的频率;
19.用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重.若从全市高二学生中任选5人,设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数,求X的分布列和数学期望.
正确答案
(Ⅰ)0.25;
解析
试题分析:本题属于概率的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按解题步骤求解,(2)要准确判定该变量服从二项分布.
(Ⅰ)设该校抽查的学生总人数为n,第2组、第3组的频率分别为,
,
则,所以
,
由,解得
,
所以该校抽查的学生总人数为240人,从左到右第2组的频率为0.25.
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望,解题步骤如下:
1)利用频率分布直方图得到频率和频数;
2)判定该变量服从二项分布;
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为,而不是频率;
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
正确答案
(Ⅱ)分布列略,.
解析
试题分析:本题属于概率的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按解题步骤求解,(2)要准确判定该变量服从二项分布.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:体重不低于55公斤的学生的概率为
,
X服从二项分布,
,k=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5,····································· 9分
所以随机变量X的分布列为:
则.
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望,解题步骤如下:
1)利用频率分布直方图得到频率和频数;
2)判定该变量服从二项分布;
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为,而不是频率;
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
某企业招聘工作人员,设置、
、
三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加
组测试,丙、丁两人各自独立参加
组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为
,丙、丁两人各自通过测试的概率均为
.戊参加
组测试,
组共有6道试题,戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答,至少答对3题则竞聘成功.
17.求戊竞聘成功的概率;
18.求参加组测试通过的人数多于参加
组测试通过的人数的概率;
19.记、
组测试通过的总人数为
,求
的分布列和期望.
正确答案
解析
设戊竞聘成功为A事件,则 …………1分
…………2分
考查方向
解题思路
至少答对3题有两种情况
易错点
事件的性质划分不清,随机变量的取值及相应概率求不准.
正确答案
解析
设“参加组测试通过的人数多于参加
组测试通过的人数”为B事件………3分
…………5分
考查方向
解题思路
能出现参加A组测试通过的人数多余参加B组测试通过的人数有两种情况1>0或2>1;
易错点
事件的性质划分不清,随机变量的取值及相应概率求不准.
正确答案
解析
(Ⅲ)可能取0,1,2,3,4 …………6分
…………7分
…………8分
…………9分
…………10分
…………11分
…………12分
∴ ……13分
解题思路
根据题意,先确定随机变量可能取值为0,1,2,3,4,然后根据题意,分别求出相应的概率,得到分布列,由分布列求数学期望.
易错点
事件的性质划分不清,随机变量的取值及相应概率求不准.
新生儿Apgar评分,即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、
心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分,满10分者为正常新生儿,评分7分以下的新
生儿考虑患有轻度窒息,评分在4分以下考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分多在7-10
分之间,某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机制取了16名,以下表格记录了他们
的评分情况.
19.现从16名新生儿中随机抽取3名,求至多有1名评分不低于9分的概率:
20.以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据,若从本市本年度新生儿中任选3名, 记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数,求X的分布列及数学期望.
正确答案
(1);
解析
(1)设表示所抽取3名中有
名新生儿评分不低于9分,至多有1名评分不低于9分记为事件
,则
.
考查方向
解题思路
(1)先表示所求事件再计算其概率(2)写出X的所有可能取值并求出相应概率,列出分布列和计算数学期望。
易错点
所求事件的表示及概率的计算。
正确答案
(2);
.
解析
(2)由表格数据知,从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为,
则由题意知的可能取值为0,1,2,3.
;
;
;
.
所以的分布列为
由表格得(或
)
考查方向
解题思路
(1)先表示所求事件再计算其概率(2)写出X的所有可能取值并求出相应概率,列出分布列和计算数学期望。
易错点
所求事件的表示及概率的计算。
经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如下:
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm.
18.检查人员从这条鱼中,随机抽出
条,求
条中恰有
条汞含量超标的概率;
19.若从这批数量很大的鱼中任选条鱼,记
表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此
条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求
的分布列及数学期望
.
正确答案
(1);
考查方向
解题思路
1、第一问属于古典概型,直接用排列组合求出个数;
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
正确答案
(2)
解析
(2)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率,
可能取
,
,
,
.
则 ,
,
,
其分布列如下:
所以.
考查方向
解题思路
1)第一问属于古典概型,直接用排列组合求出个数;
2)第二问中属于二项分布,各个事件之间是相互独立的,直接用公式求。
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程,20项民生类工程和10项
产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.
19.求这3人选择的项目所属类别互异的概率;
20.将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为,求
的分布列和数学期望
.
正确答案
解析
记第名工人选择的项目属于基础设施类,民生类,产业建设类分别为事件
.
由题意知均相互独立.
则
3人选择的项目所属类别互异的概率:
考查方向
解题思路
第一问属于古典概型,直接用排列组合求出个数;
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
正确答案
解析
任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率:
由.
的分布列为
其数学期望为
考查方向
解题思路
第二问中属于二项分布,各个事件之间是相互独立的,直接用公式求。
易错点
容易在排列组合问题计算时出现错误。
9.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,
,已知他投篮一次得分的数学期望是2,则
的最小值为( )
正确答案
解析
由题意可知 所以
,当且仅当
时,取等号,所以选D
考查方向
解题思路
根据题意可求3a+2b的值,然后构造基本不等式的形式求解问题答案
易错点
计算错误,活用“1”
知识点
7.2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖,
这6名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是 ( )
正确答案
解析
由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共种方法,而三个学校的学生随便排有
种方法,由古典概型的概率计算公式得所求概率:
,故选C.
考查方向
解题思路
1.先求出把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共种方法;2.在求出个学校的学生随便排有
种方法,后带入古典概型的概率公式求解即可。
易错点
不会相邻问题如何处理;
知识点
2016年上半年,股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票,其中甲股票赚钱的概率为,赔钱的概率是
;乙股票赚钱的概率为
,赔钱的概率为
.对于甲股票,若赚钱则会赚取5万元,若赔钱则损失4万元;对于乙股票,若赚钱则会赚取6万元,若赔钱则损失5万元.
18.求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率;
19.试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望.
正确答案
(1);
解析
(Ⅰ)袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为
考查方向
解题思路
直接根据题意求即可;
易错点
1.对于题中给出的信息处理出错;2.对于随机变量取值对应的概率出错。
正确答案
((2)的分布列为
解析
(Ⅱ)用万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益,则
的所有可能取值为
所以,的分布列为
的数学期望为
考查方向
解题思路
先设出随机变量后写出其取值,然后求其取各个值的概率列分布列带入期望公式即可。
易错点
1.对于题中给出的信息处理出错;2.对于随机变量取值对应的概率出错。
6. 从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试,则选到的2名同学中至少有一名女同学的概率是 .
正确答案
解析
从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有种,其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有
,所以所求的概率为
。
考查方向
解题思路
1.先利用排列组合求出从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试的选法有多少种;
2.利用间接法求出其中选到的2名同学中至少有一名女同学的选法有多少种;3.利用古典概型的概率公式求解。
易错点
1.在求选到的2名同学中至少有一名女同学时只考虑女同学由几个,没有考虑到男同学,导致结果出错;
2.不会间接考虑问题。
知识点
8.若以连续掷两次骰子分别得到的点数、
作为点P的横、纵坐标,则点P在直线
下方的概率是()
正确答案
解析
以连续掷两次骰子分别得到的点数、
作为点P的横、纵坐标,故点P共有
个,其中点P在直线
下方要满足
,这样的点有(1,1),(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(4,1)共10种,故所求的概率为
。
考查方向
解题思路
1.先求出以连续掷两次骰子分别得到的点数、
作为点P的横、纵坐标这样的点p的个数;2.求满足点P在直线
下方的点有多少个,两数相除即可得到答案。
易错点
1.不会计算连续掷两次骰子共有多少种情况;2.不会求点P在直线下方有多少种情况。
知识点
某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查,随机抽取了20名用户的评分,得到图3所示茎叶图,对不低于75的评分,认为用户对产品满意,否则,认为不满意.
19.根据以上资料完成下面的2×2列联表,若据此数据算得,则在犯错的概率不超过5%的前提下,你是否认为“满意与否”与“性别”有关?
20.以此“满意”的频率作为概率,求在3人中恰有2人满意的概率;
21.从以上男性用户中抽取2人,女性用户中抽取1人,其中满意的人数为,求
的分布列与数学期望.
正确答案
(1)在犯错的概率不超过5%的前提下,不能认为“满意与否”与“性别”有关;
解析
:(Ⅰ)
∵<3.84 1,
∴在犯错的概率不超过5%的前提下,不能认为“满意与否”与“性别”有关。
考查方向
解题思路
先将题中给出的茎叶图处理成列联表,然后带入求得<3.84 1判断即可;
易错点
将茎叶图处理成列联表数据出错,
在求<3.84 1时运算结果出错;
正确答案
(2);
解析
(Ⅱ)由频率估计“满意”的概率为,
∴在3人中恰有2人满意的概率为;【或
】
考查方向
解题思路
先求出“满意”的概率,然后利用n次独立重复试验的概率求法求出概率;
易错点
求概率时忘记乘以。
正确答案
(3)
的分布列为
数学期望
解析
(Ⅲ)的可能取值为0、1、2、3,
,
,
,
,
的分布列为
数学期望
考查方向
解题思路
先求出随机变量的取值和取各个值的概率后利用公式求出其期望。
易错点
不会求随机变量取各个值的概率。
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