热门试卷

（1）

将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的

最小值即线段BH的长，

设,则，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴

（2）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，

又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK，

同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上

（3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图示，

则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

为平面AEKH的一个法向量，

为平面ABCDF的一个法向量，

设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，

则

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值

【方法二：

由可知,故,

又∵面AEKH，

面AEKH,  ∴面AEKH.

设平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，

∴

∵BD⊥AC，∴⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴⊥AK，

∴为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为。

（法一）（1）

取中点为，连接、，

 且，

，则 且，

四边形为矩形， 且，

且，

，则。

平面，平面，

平面。

（2）过点作的平行线交的延长线

于，连接，，，

，

，，，四点共面。

四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，又，

平面，，

又平面平面，

为平面与平面所成锐二面角的平面角。

，。

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

（3）

过点作于，连接，

根据（2）知，，，四点共面，，

，，

又， 平面，

，则。

又， 平面。

直线与平面所成角为。

，，

，，，

。

即直线与平面所成角的余弦值为。

（法二）（1）

四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，

又平面平面，且

平面平面，

平面。

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系。

根据题意我们可得以下点的坐标：

，，，，，， 则，。

，， 为平面的一个法向量。

又，

平面。

（2）设平面的一个法向量为，则

，，

，  取，得。

平面，

平面一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则。

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

（3）根据（2）知平面一个法向量为，

，   ，

设直线与平面所成角为，则。

因此，直线与平面所成角的余弦值为。

（1）证明：取的中点，连接，.

因为，分别是，的中点，

所以是△的中位线.

所以∥，且。

又因为是的中点，且底面为正方形，

所以，且∥.

所以∥，且。

所以四边形是平行四边形。

所以∥。

又平面，平面，

所以平面。                                    ……………4分

（2）证明： 因为平面平面，

，且平面平面，

所以平面。

所以，。

又因为为正方形，所以，

所以两两垂直.

以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图）。

由题意易知，

设，则

，，，，,,。

因为，，，

且，

所以，。

又因为，相交于，所以平面。     …………… 9分

（3）易得，。

设平面的法向量为，则

所以 即

令，则。

由（2）可知平面的法向量是，

所以 .

由图可知，二面角的大小为锐角，

所以二面角的余弦值为。      ……………14分

（1）因为平面，平面，所以.

因为是矩形，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以.

因为，是中点，所以.

因为，所以平面.…………………6分

（2）解：因为平面，，

所以以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，.

所以.

设平面的法向量为，

则  所以

令，得，，

所以.

平面的法向量为.

所以.

所以.

所以当时，二面角为. …………………14分

（1）证明:连结，由正方形性质可知, 与相交于的中点,

也为中点,为中点.

所以在中,//

又平面,平面,

所以平面

（2）证明:因为平面平面, 平面面

为正方形,,平面,所以平面.

又平面,所以.

又,所以是等腰直角三角形,且,即.

又,且、面,所以面.

又面, 所以面面

（3）取的中点,连结,,因为,所以.

又侧面底面,平面平面,  所以平面,

而分别为的中点,所以,又是正方形,故,[来源:学.科.网Z.X.X

以为原点,建立空间直角坐标系,

则有,,,,,

若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结,设,

则,由(Ⅱ)知平面的法向量为,

设平面的法向量为.则,即,解得

令,得,来源:学.科.网]

所以,解得(舍去).

所以,线段上存在点(),使得二面角的余弦值为.

（1）证明：取中点，连结，在△中，

分别为的中点，所以∥，且

，由已知∥，，所以

∥，且，所以四边形为平行四边形，

所以∥。

又因为平面，且平面，

所以∥平面，

（2）证明：在正方形中，，又因为

平面平面，且平面平面，

所以平面，所以。

在直角梯形中，，，可得。

在△中，，所以。

所以平面。

又因为平面，所以平面平面。

（3）（方法一）延长和交于，在平面

内过作于,连结，由平面平面，

∥，，平面平面=，

得，于是。

又，平面，所以，

于是就是平面与平面所成锐二面角的

平面角。

由，得.

又，于是有.

在中，.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为，………14分

（方法二）

由（2）知平面，且。

以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，易得  .平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得。

所以为平面的一个法向量， ……１２分

设平面与平面所成锐二面角为，

则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为，