平面与平面垂直的判定与性质
共123题

· 平面与平面垂直的判定与性质

平面与平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．(Ⅰ)求证：(Ⅱ)若点是线段上的一动点，问点在何位置时，

二面角的余弦值为．

正确答案

（1）证明：

∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM

∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM；

（2）建立如图所示的直角坐标系，设，

则平面AMD的一个法向量，，

设平面AME的一个法向量为取y=1，得

所以，

因为，

求得，所以E为BD的中点．

解析

已知面面垂直，得到线线垂直。建立空间直角坐标系计算求得

考查方向

面面垂直的性质定理，二面角．

解题思路

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

易错点

计算能力，找二面角的平面角

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面．

（Ⅰ）证明:平面平面；

（Ⅱ）若,试求二面角的余弦值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（Ⅰ）依题意

∴是正三角形，，

∵⊥平面，平面，

平面

平面∴平面平面．

（Ⅱ）连接，由题可知，又，故

故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，故

设面的一个法向量，则，

令，则，，

同理可求出面的一个法向量

故，而由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何，解题步骤如下：

1、转化为证明线面垂直。

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的面面垂直的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF．

（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；

（Ⅱ）求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．

正确答案

（1）略；（2）60O．

解析

⑴证明：设与交于点，连结，

在矩形中，点为中点，

因为为中点，

所以∥，

又因为平面，平面，

所以∥平面。

⑵解：因为平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，

以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

设，，，

因为，

所以，，

设平面的法向量，由得到的一个解为，

注意到平面的法向量，而

所以，平面与所成锐二面角的大小为。

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

1、转化为证明线线平行

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的线面平行的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是.

正确答案

（1）略；

（2）1

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）证明：直三棱柱中，平面，

所以：，又，

所以：平面，平面，

所以：平面平面

（2）由（2）平面，

以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，

设正四棱锥的高，，

则，，，，，，

设平面的一个法向量

则：，

取，

则，

所以：

设平面的一个法向量，

则，

取，则，，

所以：二面角的余弦值是，

所以，，

解得：

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和二面角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、转化为证明线面垂直。

2、建立空间直角坐标系，利用夹角的余弦公式求解。

易错点

1、第一问中的面面垂直的转化。

2、第二问中二面角求解时要建立适当的空间直角坐标系。

知识点

平面与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上。

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值。

正确答案

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）证明略；

（Ⅲ）．

解析

试题分析：本题属于立体几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意判定定理的条件要全

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以．

由分别为的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，

所以底面．

又因为底面，

所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

同理，得平面．

又因为，平面，平面，

所以平面平面．

又因为平面，

所以平面．

（Ⅲ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如下图建立空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量．

设平面的法向量为，

由，，得

令, 得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以，

解得，或（舍）．

考查方向

本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的转化、空间向量在立体几何中的运用；空间中线面位置关系的证明值域有以下几类：

1．线线间的平行或垂直，

2．面面间的平行或垂直，

3．线面间的平行或垂直；

空间向量在立体几何中的运用，主要分以下几类：

1．利用空间向量求异面直线的角，

2．利用空间向量求直线与平面所成的角，

3．利用空间向量求二面角，

4．利用空间向量求点到平面的距离．

解题思路

本题考查立体几何问题，解题步骤如下：

1．利用线面垂直的判定定理进行证明；

2．利用三角形的中位线得到线线平行，利用线面平行的判定定理得到线面平行；

3．利用面面平行的判定定理进行证明；

4．建立空间直角坐标系，利用三点共线设点，求出平面的法向量；5．利用两角相等求得比值。

易错点

1、第一、二问中，利用判定定理证明时，条件不全；

2、第三问中写点的坐标出现错误。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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