热门试卷

（1）证明：在三棱锥中

因为M,D,分别为PB,AB的中点，

所以

因为

所以        ……………………………………………….3分

（2）证明：因为M,D,分别为PB,AB的中点

所以

因为

所以

又

所以         ……………………………………………………6分

设,以A为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。

如图所示，则

所以

因为

所以      ………………………………..9分

又

所以……………………….10分

(3)解由（2）知，是平面的一个法向量

设平面的法向量，则

即

所以        令

所以       从而

因为二面角为锐角

所以二面角的大小为。………………………………………………..14分

（1）证明：连结交于，连结，

因为三棱柱是正三棱柱，

所以四边形是矩形，

所以为的中点。

因为是的中点，

所以是三角形的中位线，…………………2分

所以。…………………………3分

因为平面，平面，

所以平面。…………………………4分

（2）解：作于，所以平面，

所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系。

因为，，是的中点。

所以，，，，…………………………5分

所以，，

。

设是平面的法向量，

所以即

令，则，，

所以是平面的一个法向量。…………………………6分

由题意可知是平面的一个法向量，…………………………7分

所以。…………………………8分

所以二面角的大小为。…………………………9分

（3）设，则，

设平面的法向量，

所以即

令，则，，

，…………………………12分

又，即，解得，

所以存在点，使得平面平面且。…………………………14分

（1）证明：因为，，

在△中，由余弦定理可得 ，

所以 。                ………………2分

又因为 ，

所以平面。           ………………4分

（2）解：因为平面，所以。

因为，所以平面。                          ………………5分

所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分

在等腰梯形中，可得 。

设，所以。

所以 ，，。

设平面的法向量为，则有

所以   取，得。                ………………8分

设与平面所成的角为，则 ，

所以 与平面所成角的正弦值为。                      ………………9分

（3）解：线段上不存在点，使平面平面。证明如下：   ………………10分

假设线段上存在点，设  ，所以。

设平面的法向量为，则有

所以   取 ，得。         ………………12分

要使平面平面，只需，                      ………………13分

即 ， 此方程无解。

所以线段上不存在点，使平面平面。            ………………14分

（1）因为为正四棱柱，

所以平面，且为正方形。                 ………1分

因为平面，

所以。                                 ………2分

因为,

所以平面。                                    ………3分

因为平面,

所以。                                         ………4分

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则

             ………5分

所以，

设平面的法向量。

所以 ，即……6分

令，则。

所以。

由（1）可知平面的法向量为    ，                                               ……7分

所以，                          ……8分

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为，                   ………9分

（3）设为线段上一点,且。

因为。

所以。               ………10分

即。

所以。                                  ………11分

设平面的法向量。

因为，

所以 ，即，                   ………12分

令，则。

所以，                                   ………13分

若平面平面，则。

即，解得。

所以当时，平面平面。              ………14分

由平面，平面

,

平面BCEG, ，

由平面，知

，   .………2分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得

……………………………….3分

（1）设平面BDE的法向量为，则

即 ， ，

平面BDE的一个法向量为………………………………………………..5分

  ，，

，∴AG∥平面BDE. ……………………………………………….7分

（2）由（1）知

设平面EDG的法向量为，则  即

平面EDG的一个法向量为……………………………………………..9分

又平面BDE的一个法向量为，

设二面角的大小为，则，

二面角的余弦值为. …………………..12分

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.

又G为AD的中点，所以BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BG⊥平面PAD.

（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

∵PG平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以，， ， ，

设平面PCD的法向量为， 即

令，则

又平面PBG的法向量可为，

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则

∴

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.

由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.

又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.