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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为平面,为直线,以下四组条件,可以作为的一个充分条件的是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

充分条件直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知三棱锥P-ABC中,平面ABC,,N为AB上一点,AB= 4AN, M ,D ,S分别为PB,AB,BC的中点。

(1)求证:  PA//平面CDM;

(2)求证:  SN平面CDM



正确答案

解析

(1)证明:在三棱锥

因为M,D,分别为PB,AB的中点,

所以

因为

所以        ……………………………………………….3分

(2)证明:因为M,D,分别为PB,AB的中点

所以

因为

所以

所以         ……………………………………………………6分

,以A为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。

如图所示,则

所以

因为

所以      ………………………………..9分

所以……………………….10分

(3)解由(2)知,是平面的一个法向量

设平面的法向量,则

所以        令

所以       从而

因为二面角为锐角

所以二面角的大小为。………………………………………………..14分

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,正三棱柱的底面边长是,侧棱长是的中点。

(1)求证:平面

(2)求二面角的大小;

(3)在线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:连结,连结

因为三棱柱是正三棱柱,

所以四边形是矩形,

所以的中点。

因为的中点,

所以是三角形的中位线,…………………2分

所以。…………………………3分

因为平面平面

所以平面。…………………………4分

(2)解:作,所以平面

所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系

因为的中点。

所以,…………………………5分

所以

是平面的法向量,

所以

,则

所以是平面的一个法向量。…………………………6分

由题意可知是平面的一个法向量,…………………………7分

所以。…………………………8分

所以二面角的大小为。…………………………9分

(3)设,则

设平面的法向量

所以

,则

,…………………………12分

,即,解得

所以存在点,使得平面平面。…………………………14分

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//

(1)求证:平面

(2)求与平面所成角的正弦值;

(3)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为

在△中,由余弦定理可得

所以 。                ………………2分

又因为

所以平面。           ………………4分

(2)解:因为平面,所以

因为,所以平面。                          ………………5分

所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分

在等腰梯形中,可得

,所以

所以

设平面的法向量为,则有

所以   取,得。                ………………8分

与平面所成的角为,则

所以 与平面所成角的正弦值为。                      ………………9分

(3)解:线段上不存在点,使平面平面。证明如下:   ………………10分

假设线段上存在点,设  ,所以

设平面的法向量为,则有

所以   取 ,得。         ………………12分

要使平面平面,只需,                      ………………13分

, 此方程无解。

所以线段上不存在点,使平面平面。            ………………14分

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知不重合的直线.给出下列命题:

①若;②若;③若

④若,其中正确命题的个数是

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知正四棱柱中,

(1)求证:

(2)求二面角的余弦值;

(3)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)因为为正四棱柱,

所以平面,且为正方形。                 ………1分

因为平面

所以。                                 ………2分

因为,

所以平面。                                    ………3分

因为平面,

所以。                                         ………4分

(2)如图,以为原点建立空间直角坐标系,则

             ………5分

所以

设平面的法向量

所以 ,即……6分

,则

所以

由(1)可知平面的法向量为    ,                                               ……7分

所以,                          ……8分

因为二面角为钝二面角,

所以二面角的余弦值为,                   ………9分

(3)设为线段上一点,且

因为

所以。               ………10分

所以。                                  ………11分

设平面的法向量

因为

所以 ,即,                   ………12分

,则

所以,                                   ………13分

若平面平面,则

,解得

所以当时,平面平面。              ………14分

知识点

异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

(1)求证:AG平面BDE;(2)求:二面角GDEB的余弦值。

正确答案

见解析

解析

由平面,平面

,

平面BCEG,

由平面

,   .………2分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得

……………………………….3分

(1)设平面BDE的法向量为,则

 ,

平面BDE的一个法向量为………………………………………………..5分

  

,∴AG∥平面BDE. ……………………………………………….7分

(2)由(1)知

设平面EDG的法向量为,则  即

平面EDG的一个法向量为……………………………………………..9分

又平面BDE的一个法向量为

设二面角的大小为,则

二面角的余弦值为. …………………..12分

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为

2的菱形,且DAB=60. 侧面PAD为正三角形,其所在的平

面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.

(1)求证:BG平面PAD;

(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;

(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:连结BD.

因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.

又G为AD的中点,所以BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.

(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.

∵PG平面PAD,由(1)可得:PG⊥GB. 又由(1)知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.

故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系

所以 , ,

 

设平面PCD的法向量为, 即

,则

又平面PBG的法向量可为

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.

(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,

故H为CG的中点. 又F为CP的中点,所以FH//PG.

由(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.

又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△BD,使得平面B平面ABD.

(1)求证:平面ABD;

(2)求直线BD与平面所成角的正弦值.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=,∠BAD=90o,∠BCD=45o,E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位 置,使平面PBD⊥平面BCD,如图2.

(1)求证直线PE⊥平面BCD;

(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值;

(3) 已知空间存在一点Q到点P,B,C,D的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由)。

正确答案

见解析

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
下一知识点 : 直线、平面垂直的综合应用
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 平面与平面垂直的判定与性质

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