- 平面与平面垂直的判定与性质
- 共123题
设为平面,为直线,以下四组条件,可以作为的一个充分条件的是( )
正确答案
解析
略
知识点
已知三棱锥P-ABC中,平面ABC,,N为AB上一点,AB= 4AN, M ,D ,S分别为PB,AB,BC的中点。
(1)求证: PA//平面CDM;
(2)求证: SN平面CDM
正确答案
解析
(1)证明:在三棱锥中
因为M,D,分别为PB,AB的中点,
所以
因为
所以 ……………………………………………….3分
(2)证明:因为M,D,分别为PB,AB的中点
所以
因为
所以
又
所以 ……………………………………………………6分
设,以A为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。
如图所示,则
所以
因为
所以 ………………………………..9分
又
所以……………………….10分
(3)解由(2)知,是平面的一个法向量
设平面的法向量,则
即
所以 令
所以 从而
因为二面角为锐角
所以二面角的大小为。………………………………………………..14分
知识点
如图,正三棱柱的底面边长是,侧棱长是,是的中点。
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:连结交于,连结,
因为三棱柱是正三棱柱,
所以四边形是矩形,
所以为的中点。
因为是的中点,
所以是三角形的中位线,…………………2分
所以。…………………………3分
因为平面,平面,
所以平面。…………………………4分
(2)解:作于,所以平面,
所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系。
因为,,是的中点。
所以,,,,…………………………5分
所以,,
。
设是平面的法向量,
所以即
令,则,,
所以是平面的一个法向量。…………………………6分
由题意可知是平面的一个法向量,…………………………7分
所以。…………………………8分
所以二面角的大小为。…………………………9分
(3)设,则,
设平面的法向量,
所以即
令,则,,
,…………………………12分
又,即,解得,
所以存在点,使得平面平面且。…………………………14分
知识点
在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,。
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:因为,,
在△中,由余弦定理可得 ,
所以 。 ………………2分
又因为 ,
所以平面。 ………………4分
(2)解:因为平面,所以。
因为,所以平面。 ………………5分
所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分
在等腰梯形中,可得 。
设,所以。
所以 ,,。
设平面的法向量为,则有
所以 取,得。 ………………8分
设与平面所成的角为,则 ,
所以 与平面所成角的正弦值为。 ………………9分
(3)解:线段上不存在点,使平面平面。证明如下: ………………10分
假设线段上存在点,设 ,所以。
设平面的法向量为,则有
所以 取 ,得。 ………………12分
要使平面平面,只需, ………………13分
即 , 此方程无解。
所以线段上不存在点,使平面平面。 ………………14分
知识点
已知不重合的直线.给出下列命题:
①若;②若;③若;
④若,其中正确命题的个数是
正确答案
解析
略
知识点
已知正四棱柱中,。
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)因为为正四棱柱,
所以平面,且为正方形。 ………1分
因为平面,
所以。 ………2分
因为,
所以平面。 ………3分
因为平面,
所以。 ………4分
(2)如图,以为原点建立空间直角坐标系,则
………5分
所以,
设平面的法向量。
所以 ,即……6分
令,则。
所以。
由(1)可知平面的法向量为 , ……7分
所以, ……8分
因为二面角为钝二面角,
所以二面角的余弦值为, ………9分
(3)设为线段上一点,且。
因为。
所以。 ………10分
即。
所以。 ………11分
设平面的法向量。
因为,
所以 ,即, ………12分
令,则。
所以, ………13分
若平面平面,则。
即,解得。
所以当时,平面平面。 ………14分
知识点
如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)求证:AG平面BDE;(2)求:二面角GDEB的余弦值。
正确答案
见解析
解析
由平面,平面
,
平面BCEG, ,
由平面,知
, .………2分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得
……………………………….3分
(1)设平面BDE的法向量为,则
即 , ,
平面BDE的一个法向量为………………………………………………..5分
,,
,∴AG∥平面BDE. ……………………………………………….7分
(2)由(1)知
设平面EDG的法向量为,则 即
平面EDG的一个法向量为……………………………………………..9分
又平面BDE的一个法向量为,
设二面角的大小为,则,
二面角的余弦值为. …………………..12分
知识点
如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为
2的菱形,且DAB=60. 侧面PAD为正三角形,其所在的平
面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证:BG平面PAD;
(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:连结BD.
因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.
又G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.
∵PG平面PAD,由(1)可得:PG⊥GB. 又由(1)知BG⊥AD.
∴PG、BG、AD两两垂直.
故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
,
,
所以,, , ,
设平面PCD的法向量为, 即
令,则
又平面PBG的法向量可为,
设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则
∴
即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.
(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.
因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,
故H为CG的中点. 又F为CP的中点,所以FH//PG.
由(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.
又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.
知识点
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△BD,使得平面B平面ABD.
(1)求证:平面ABD;
(2)求直线BD与平面所成角的正弦值.
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=,∠BAD=90o,∠BCD=45o,E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位 置,使平面PBD⊥平面BCD,如图2.
(1)求证直线PE⊥平面BCD;
(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值;
(3) 已知空间存在一点Q到点P,B,C,D的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由)。
正确答案
见解析
解析
知识点
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