平面与平面垂直的判定与性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB//CD，，点M在线段EC上.

（I）证明：平面平面ADEF；

（II）若，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.

正确答案

（2）

解析

试题分析：本题属于几何证明中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难

（Ⅰ）证明：如图，

（Ⅱ）在面内过点作

以为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系则

设平面的法向量为

令

∵平面的法向量，

所以平面与平面所成锐二面角是

考查方向

本题考查了二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定

解题思路

（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；

（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；

（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

易错点

1、第一问中面面垂直的判定定理条件模糊

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16．如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

正确答案

详见解析

解析

试题分析：本题是空间中平行与垂直的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，证明的关键是按照线面平行、面面垂直的判定，找到使定理成立的条件，所以空间中的读图能力，熟练把握空间中垂直关系的判定与性质是解题的突破口。

证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，

所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，

又，即，而面，且，

所以面.

而面，所以，

又是正方形，所以，而面，且，

所以面.

又面，所以面面.

考查方向

本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、空间想象能力。

解题思路

本题考查空间中平行与垂直的证明

1、证明线面平行时，关键是设法在平面内找到一条直线与已知直线平行。

2、证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，关键是在证线面垂直时，找到两条线是相交直线与已知直线垂直，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

易错点

1、第一问中的易忽视线面平行中线在面外。

2、第二问中证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，不要忽视证线面垂直时，两条线是相交直线，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点到达点．

18.求证：；

19.当三棱锥的体积最大时，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见证明．

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：证明：因为且是的中点，所以，由折叠知，又，所以.

考查方向

本题考查了线面垂直、线面角等知识点。

解题思路

直接利用线面垂直的判定定理进行证明；

易错点

正确答案

不存在．

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：不存在.

证明如下：

当面面时，三棱锥的体积最大.因为面面,

所以面.

（方法一）连结，

因为，,

所以面,所以即为与平面所成的角，在直角三角形中，

，所以，而中，，

设到直线的距离为，则由，得.

因为, 所以满足条件的点不存在.

（方法二）(前面同解法一)在直角三角形中，,所以 ,易求得到直线的距离为，所以满足条件的点不存在

（方法三）已证得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，设，则，又平面的法向量，依题意得，

，得，化简得，，此方程无解，所以满足条件的点不存在.

考查方向

本题考查了线面垂直、线面角等知识点。

解题思路

本问题方法较多，可以直接进行证明，也可以利用向量进行证明，详见解析．

易错点

正确答案

见解析

解析

考查方向

空间几何体,直线与平面的角；线面平行的判定

解题思路

第一问根据特殊四边形的相关性质进行证明,第二问利用线面垂直证明线线垂直，第三问用和空间距离相关的性质求解。

易错点

辅助线作不出来；立体感不强

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

空间几何体,直线与平面的角；线面平行的判定

解题思路

第一问根据特殊四边形的相关性质进行证明,第二问利用线面垂直证明线线垂直，第三问用和空间距离相关的性质求解。

易错点

辅助线作不出来；立体感不强

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

空间几何体,直线与平面的角；线面平行的判定

解题思路

第一问根据特殊四边形的相关性质进行证明,第二问利用线面垂直证明线线垂直，第三问用和空间距离相关的性质求解。

易错点

辅助线作不出来；立体感不强

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是

A若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n

B若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n

C若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥β

D若m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥β

正确答案

C

解析

若α∥β，m∥α，n∥β，则可能平行、异面或相交，故A错误；若α⊥β，m⊥α，n∥β，则可能平行、异面或相交，故B错误；若m⊥α，nβ，m⊥n，则可能垂直、平行或不垂直相交，故D错误；所以选C选项.

考查方向

本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与空间向量等知识交汇命题.

解题思路

1)分析判断各选项的正确性；

2)得出结论.

易错点

本题易在判断选项B出现错误，易忽视判断线线垂直的充分条件.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱锥中，平面90°，，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且.

（I）证明：平面平面PAB；

（II）证明：MN//平面PAC；

（III）若，求二面角的大小.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了直线和平面平行的判定定理，考察了面和面垂直的判定定理，考察了面与面之间的位置关系，空间向量的正交分解及其坐标表示，考察了利用空间向量证明平行，考察了用空间向量求平面间的夹角

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

1）根据平面

2）由线面垂直得到面面垂直

3）取AE的中点，借助中位线由面面平行证明线面平行

4）根据已知条件建立坐标系，并标记所需点的坐标

5）计算相应面的法向量，并求向量的夹角

6）判断两面角的大小确定二面角

易错点

本题容易在辅助线建立过程出错，空间直角坐标系建立及其坐标表示出错，二面角的判断出错

知识点

平面与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD

中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2.

22.若二面角P—CD—B为45°，求证：平面平面；

23.在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

Ⅰ）平面ABCD，

∵AB//CD，AB⊥AD，∴

平面，CD⊥PD，

∴二为面角P—CD—B的平面角，

，

取PD的中点E，PC的中点F，连结AE，BF，EF，

则，∵平面，

∴,平面，-∵且，，

∴四边形ABFE为平行四边形，∴，平面，

∵面，∴平面平面

考查方向

本题主要考查空间线面的位置关系、二面角和点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先找出二为面角P—CD—B的平面角，后证明平面，即可证明面面垂直；2.利用等体积法直接求解答案即可。

易错点

不会从图形中找到二面角P—CD—B的平面角；

不知道该证明哪条直线垂直于哪个平面；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设点A到平面PBC的距离为，由得分

即点A到平面PBC的距离为

考查方向

本题主要考查空间线面的位置关系、二面角和点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先找出二为面角P—CD—B的平面角，后证明平面，即可证明面面垂直；

2.利用等体积法直接求解答案即可。

易错点

利用等体积法运算时求解算数出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A若，则

B若，则

C若，则

D若，则

正确答案

D

解析

对于选项A可以相交；对于选项B，直线可以在平面内，

对于选项C，直线可以在平面内，故选D

考查方向

本题主要考查了空间中直线、平面之间的位置关系以及直线、平面的平行和垂直的判断定理。

解题思路

根据选项逐个进行分析、判断。

易错点

对线面、面面的平行或垂直的判定定理理解不透彻，导致出错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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