热门试卷

（1）连接，则……1分

（方法一）底面，所以，……2分

，……3分

，所以，……4分

因为，所以……5分

（方法二），所以，

底面，所以

因为，所以平面

因为平面，所以

（2）（方法一）过作于，则平面

连接，由⑴知平面当且仅当

又，所以平面，

依题意，，所以，，

是的平分线，从而也是的平分线

在和中，，

所以……13分，，即所求的值为。

（方法二）在平面内过点作，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

则，，……7分，

设，由得，

解得，，

由⑴知平面当且仅当……11分，即所以解得

（方法三）过作，交于，连接，则平面即平面

……6分，由⑴知平面当且仅当……7分

由⑴及余弦定理得 

所以，又，

所以。

解：（1）证明：四边形是平行四边形，，

平面，又，，平面.

（2）设的中点为，在平面内作于，则平行且等于，连接，则四边形为平行四边形，

∥，平面，平面，

∥平面，为中点时，∥平面.

设为的中点，连结，则平行且等于，

平面，平面，

.

（1）解：∵,,

∴,又

∴面

为等腰直角三角形且

∴

两两垂直

分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系如图：

则，

，

∴

∴

∴与所成角的大小为……………………………4分

（2） ∵，为中点

∴，而

∴

∴与共线，

面，面

∴平面…………………………………8分

Ⅲ)面

面

∴

∴

又为等腰直角三角形且为斜边中点

∴

∴面

又面

∴平面平面…………………………12分

（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，

所以 ∥.………………………1分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.…………………………2分

因为 ∥，

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.   ………………………3分

因为 平面，平面，，

所以 平面∥平面PAC.……………………………5分

（2）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，

所以 ，即.

因为 平面，平面，

所以 .………………………7分

因为 平面，平面，，

所以 平面.

因为 平面，

所以 平面PAC平面.……………………9分

（3）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。

因为 ，，

所以 ，.

延长交于点.

因为 ∥，

所以 .

所以 ，，，.

所以 ，.

设平面的法向量.

因为

所以 即

令，则.

所以 .  ……………………12分

同理可求平面的一个法向量n. …………………13分

所以 .

所以 .………………………14分

（1）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.----------------------4分

（2）证明：由（1）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.---------------------9分

（3）解：设（），由（2）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.[

所以点是的中点.----------------------14分

（1）解法一：∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD  ∴BC ⊥PA 

又∵BC⊥AB，PA∩AB=A    ∴BC⊥平面PAB

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法二：∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD ∴AD⊥PA  

又∵DA⊥AB，PA∩AB=A  ∴AD⊥平面PAB   

∵BC⊥AB  ∴BC∥AD  ∴BC⊥平面PAB  

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角 

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法三：

∵PA⊥平面ABCD DA⊥AB

∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线

为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)， 

则   

设PC与平面PAB所成角的大小为θ，

则

，即PC与平面PAB所成角的正切值为

（2）证法一：

过点C作CE∥AB交AD于点E，

∵DA⊥AB   ∴DA⊥EC，且AE =BC =1

∵AD =2，∴E为AD的中点，∴EC为AD的垂直平分线，∴CD=AC，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=450

∴∠DAC =∠ADC=450，∴∠DCA=900，即DC⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

证法二：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，

又

即AC⊥DC，

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC，

∴平面PAC⊥平面PCD.

证法三：

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD ∴CD⊥PA

∵DA⊥AB ∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD

所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，

则

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

（1）证明：取中点，连结，。

因为，所以，

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以，

所以平面，

所以，

（2）解：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以，

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以

，

所以 ，平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为，

（3）解：存在点，且时，有平面，

证明如下：由，，所以。

设平面的法向量为，则有

所以 取，得，

因为 ，且平面，所以平面，

即点满足时，有平面。

解析：（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，且

，在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面。                           ………4分

（2）平面底面，，所以平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。。

所以，又由平面，可得，所以平面。            ………8分

（3）平面的法向量为，

，所以，

设平面的法向量为，由，，得，

所以，所以，

注意到，得                                   …………12分