热门试卷

（1）证明：连结交于，连结，

因为三棱柱是正三棱柱，

所以四边形是矩形，

所以为的中点。

因为是的中点，

所以是三角形的中位线，…………………2分

所以。…………………………3分

因为平面，平面，

所以平面。…………………………4分

（2）解：作于，所以平面，

所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系。

因为，，是的中点。

所以，，，，…………………………5分

所以，，

。

设是平面的法向量，

所以即

令，则，，

所以是平面的一个法向量。…………………………6分

由题意可知是平面的一个法向量，…………………………7分

所以。…………………………8分

所以二面角的大小为。…………………………9分

（3）设，则，

设平面的法向量，

所以即

令，则，，

，…………………………12分

又，即，解得，

所以存在点，使得平面平面且。…………………………14分

（1）证明：因为，，

在△中，由余弦定理可得 ，

所以 。                ………………2分

又因为 ，

所以平面。           ………………4分

（2）解：因为平面，所以。

因为，所以平面。                          ………………5分

所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分

在等腰梯形中，可得 。

设，所以。

所以 ，，。

设平面的法向量为，则有

所以   取，得。                ………………8分

设与平面所成的角为，则 ，

所以 与平面所成角的正弦值为。                      ………………9分

（3）解：线段上不存在点，使平面平面。证明如下：   ………………10分

假设线段上存在点，设  ，所以。

设平面的法向量为，则有

所以   取 ，得。         ………………12分

要使平面平面，只需，                      ………………13分

即 ， 此方程无解。

所以线段上不存在点，使平面平面。            ………………14分

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.

又G为AD的中点，所以BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BG⊥平面PAD.

（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

∵PG平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以，， ， ，

设平面PCD的法向量为， 即

令，则

又平面PBG的法向量可为，

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则

∴

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.

由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.

又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.